Solución analítica para el modelo Heston

Question

¿Cuál es la razón de ser de la ecuación 7 en este papel ? ¿Podría proporcionar una demostración paso a paso de esta igualdad?

Answer 1

Esta ecuación no está relacionada con el modelo Heston. Es simplemente el valor de una llamada europea bajo el movimiento browniano geométrico de coeficiente constante, es decir, el modelo de Black y Scholes (1973). Aquí $\nu$ es el constante volatilidad y $\mu$ es la deriva neutral al riesgo del activo. En el caso de una acción se podría tener, por ejemplo $\mu = r - q$ donde $r$ es el tipo de interés sin riesgo y $q$ es la rentabilidad de los dividendos.

Encontrará una derivación de esta fórmula en casi cualquier libro de introducción a las finanzas en tiempo continuo, por ejemplo, "Continuous Time Finance II" de Shreve o "Martingale Methods in Financial Modelling" de Musiela y Rutkowksi.

Nótese que hay un error en la fórmula: los autores se olvidan de descontar el precio de compra. En su notación debería decir

\begin{equation} C_0 = \frac{1}{2} \color{red}{e^{-r \left( T - t_0 \right)}} \left( S_0 e^{\mu \left( T - t_0 \right)} \mathrm{erfc} \left( -\frac{d_+}{\sqrt{2}} \right) - K \mathrm{erfc} \left( -\frac{d_-}{\sqrt{2}}\right) \right), \end{equation}

donde

\begin{equation} d_\pm = \frac{1}{\sqrt{\nu \left( T - t_0 \right)}} \left( \ln \left( \frac{S_0}{K} \right) + \left( \mu \pm \frac{1}{2} \nu \right) \left( T_0 - t \right) \right) \end{equation}

Normalmente se encuentra esta fórmula expresada en términos de la función de distribución normal acumulativa $\mathcal{N}(x)$ en lugar de la función de error complementaria $\mathrm{erfc}(x)$ . La conexión entre ambos es

\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \mathrm{erfc} \left( -\frac{d_\pm}{\sqrt{2}} \right) & = & \frac{1}{2} \left( 1 - \mathrm{erf} \left( -\frac{d_\pm}{\sqrt{2}} \right) \right)\\ & = & \frac{1}{2} \left( 1 + \mathrm{erf} \left( \frac{d_\pm}{\sqrt{2}} \right) \right)\\ & = & \mathcal{N} \left( d_\pm \right). \end{eqnarray}

Entonces se obtiene la expresión más conocida

\begin{equation} C_0 = e^{-r \left( T - t_0 \right)} \left( S_0 e^{\mu \left( T - t_0 \right)} \mathcal{N} \left( d_+ \right) - K \mathcal{N} \left( d_- \right) \right). \end{equation}