Valor esperado de la dispersión logarítmica normal bivariada

Question

No sé cómo derivar el valor esperado para el siguiente problema:

Supongamos que el vector aleatorio (S_1, S_2) tiene una distribución lognormal bivariada con el vector de parámetro (u_1, u_2, v_1, v_2, p) tal que el vector (U_1, U_2)=[(ln{S_1}-u_1)/v_1, (ln{S_2}-u_2)/v_2] tiene una distribución normal bivariada estándar con correlación p

... Ahora, ¿cómo derivaría la diferencia positiva esperada del diferencial lognormal bivariado, ti: E[max(S_1 - S_2, 0)] ?

Answer 1

si se trata de acciones, este problema se denomina tarificación de una opción de Margrabe y generalmente se resuelve mediante cambio de numerario. Tome$S_2$ como numerario. Entonces el valor de la opción es $$ S_2 (0) \ mathbb {E} _ {S_2} ((S_1 (T) / S_2 (T) -1) _ +) $$ donde la expectativa se toma en la medida que tiene$S_1/S_2$ como martingala. Como es una martingala y logarítmicamente normal en el tiempo T, la expectativa es fácil de calcular y listo.