En casi todos los documentos que he leído en Internet, el lugar de consumo donde $C_{t} = C_{t+1}$ parece ser una línea vertical como se muestra a continuación. Sin embargo, mi profesor dijo que bien podría no ser una línea vertical. Realmente no sé por qué debería ser diferente. Gracias por toda su ayuda. 
Creo que el caso en el papel que has sugerido es caso continuo, mientras que en mi caso es dicreto. de todos modos ¡muchas gracias!
Es la misma idea. En el papel, cuando $\dot{c}=0$ , usted tiene $c=c(k)$ De la misma manera, en un modelo discreto, tendrás lo mismo. Puedes mirar los modelos OLG (en tiempo discreto) con múltiples equilibrios. Puedes encontrar diagramas de fase en los que la curva de estado estacionario del consumo no es una línea vertical. Hay un libro muy bueno de Phillippe Michel y David de la Croix que explica este tipo de cuestiones: assets.cambridge.org/97805218/06428/sample/9780521806428ws.pdf
En el modelo estándar/canónico de Ramsey para tiempo discreto, la ecuación de Euler es de la forma (la notación es estándar aquí, no escribiré todo el modelo),
$$\beta (1+r_{t+1})u'(c_{t+1}) = u'(c_{t})$$
Para obtener un locus de cambio cero para el consumo, debemos satisfacer
$$c_{t+1} = c_t \implies u'(c_{t+1}) = u'(c_{t}) \implies \beta (1+r_{t+1}) = 1$$
$$ \implies r = (1/\beta)-1$$
-independientemente de la forma de la función de utilidad asumida (siempre que no cambie, como función, de un periodo a otro), e independientemente del nivel de consumo. Por lo tanto, el locus no puede tener una pendiente en el espacio consumo-capital, sino que tiene que ser vertical al eje del capital en un nivel de capital para el que $r$ (que equivale al producto marginal del capital) es igual a la constante anterior.
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Tiene que aclarar su pregunta. ¿Está preguntando por el lugar de consumo en el modelo canónico de Ramsey, o también en el contexto de otros modelos, que pueden ser variantes del modelo canónico, o incluso modelos diferentes? Si tu profesor no tenía claro este punto, quizás deberías preguntarle primero a tu profesor.
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Gracias Alecos, quiero preguntar en el caso del modelo de Ramsey de tiempo infinito discreto. Supongo que es canónico. La función de producción es $f=k_{t}^{\alpha}$ y la función de utilidad es CEIS.