¿Cómo evaluar el valor esperado impulsado 4 de un proceso de Wiener?

Question

Desde $X(t_j) - X(t_{j-1})$ se distribuye normalmente con media cero y varianza $t/n$ tenemos

$$ \operatorname{E} [(X(t_j) - X(t_{j-1}))^2 ] = \frac{t}{n} \tag{1}$$ y $$ \operatorname{E} [(X(t_j) - X(t_{j-1}))^4 ] = \frac{3t^2}{n} \tag{2}$$

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No consigo entender cómo se obtiene el segundo resultado (2). Esto es de Quantitative Finance por Paul Wilmott.

Answer 1

Usted afirma $X(t_j) - X(t_{j-1}) \backsim \mathcal{N}(0, \frac{t}{n})$ . Así: \begin{equation} X(t_j) - X(t_{j-1}) = \sqrt{\frac{t}{n}} Z , \end{equation} donde $Z \backsim \mathcal{N}(0, 1)$ . Tenga en cuenta que: \begin{align} & \mathbb{E} \sqrt{\frac{t}{n}} Z = 0 \\ & \mathbb{E} \left( \sqrt{\frac{t}{n}} Z \right)^2 = \frac{t}{n} \mathbb{E} Z^2 = \frac{t}{n} \\ & \mathbb{E} \left( \sqrt{\frac{t}{n}} Z \right)^3 = \left( \frac{t}{n} \right)^{\frac{3}{2}} \mathbb{E} Z^3 = 0 \\ & \mathbb{E} \left( \sqrt{\frac{t}{n}} Z \right)^4 = \left( \frac{t}{n} \right)^2 \mathbb{E} Z^4 = \frac{3 t^2}{n^2} \end{align} La tercera línea sigue ya que $\mathbb{E} Z^3 = 0$ y la cuarta línea sigue ya que $\mathbb{E} Z^4 = 3$ .

Este resultado para el cuarto momento de la Normal Estándar está en muchos libros de texto, pero se puede encontrar una prueba aquí en Mathematics StackExchange.