¿Podemos comparar los riesgos de las loterías?

Question

Entiendo los conceptos de aversión al riesgo, neutralidad al riesgo y atracción al riesgo. Me pregunto si es posible comparar los riesgos entre dos loterías sin dar la función de utilidad. Por ejemplo, supongamos que X = (10, 20, 30) y consideremos dos loterías L1 = (1/3, 1/3, 1/3) y L2 = (5/12,1/6,5/12). ¿Podemos decir que una lotería es más arriesgada que la otra?

Answer 1

Es posible que busque el concepto de dominio estocástico :

A grandes rasgos, el dominio estocástico de primer orden de la distribución A sobre la distribución B, significa que para cada resultado posible la apuesta A paga débilmente más y en al menos un estado paga estrictamente más. A grandes rasgos, la dominancia estocástica de segundo orden significa que la distribución A tiene el mismo riesgo que la distribución B pero una media más alta (pero no necesariamente débilmente más alta en todos los estados del mundo. Alternativamente, se preserva la media de la distribución B y se "estruja" la masa de probabilidad para crear la distribución A. "Todos los maximizadores de la utilidad esperada con aversión al riesgo (es decir, aquellos con funciones de utilidad crecientes y cóncavas) prefieren una apuesta dominante estocástica de segundo orden a una dominada".

El documento fundamental es Reglas para ordenar las perspectivas inciertas ( Hadar y Russell (1969) )

Answer 2

El riesgo es una medida subjetiva. Tal vez subir a un árbol sea muy arriesgado para mí, mientras que tú piensas que es un juego de niños y no conlleva ningún riesgo. Intuitivamente, por eso hay muchas formas de definir el riesgo, por ejemplo, la varianza es una de las más comunes.

Por supuesto, la varianza tiene limitaciones, por ejemplo, si la distribución está muy concentrada en dos resultados diferentes (bimodal) la varianza se vuelve más difícil de interpretar, ya que será un número grande, aunque la lotería arroje uno de los dos resultados con una probabilidad muy alta.

El otro enfoque sugerido por @BKay es el de la dominancia estocástica. Permítanme ampliarlo.

Este enfoque se toma en serio el hecho de que la gente puede discrepar en sus preferencias de riesgo, pero si la lotería A es preferida a la lotería B por cualquier agente que prefiera tener más dinero en lugar de menos, decimos que A domina estocásticamente de primer orden (FSD) a B (cuidado, hay otras definiciones equivalentes por ahí, pero esta me parece muy intuitiva), así que sin especificar una función de utilidad se puede decir que A es mejor que B. ¿Quieres decir que A es menos arriesgado que B? - Puede que sí, puede que no. Sin embargo, para muchos pares de loterías, no podrá decir que A es mejor que B, porque el requisito es fuerte: todo maximizador de dinero debe preferir A a B.

Si está dispuesto a ser menos estricto, puede preguntarse si al menos todos los agentes con aversión al riesgo prefieren A a B. Si la respuesta es afirmativa, decimos que A domina estocásticamente de segundo orden (SSD) a B. En este caso, todo agente al que no le guste el riesgo prefiere A a B, independientemente de la forma específica de su utilidad. ¿Se quiere decir ahora que A es menos arriesgado que B? No sería descabellado decirlo, porque aunque A tenga una varianza mayor que B, como A SSD B, debe ser que en promedio A da una mejor utilidad. Así que es menos arriesgado no en términos de tener menos incertidumbre sobre cuál será el resultado, sino que es menos arriesgado en el sentido de que es probable que dé un mejor resultado que la otra lotería.

En su ejemplo, $L_1 \succsim_{SSD} L_2$ porque tienen el mismo valor esperado, pero L2 tiene una varianza mayor - Estas dos propiedades son condiciones suficientes para el SSD. Cualquier agente con aversión al riesgo preferirá $L_1$ a $L_2$ .

Una de las limitaciones de la dominancia estocástica es que no puede medir cuánto más "arriesgada" es una lotería, simplemente puede decir cuál es más y cuál es menos. Otra limitación muy importante es que todavía hay muchos pares de loterías en los que algunos agentes con aversión al riesgo preferirán una de ellas y los demás preferirán la otra, por lo que no se puede decir cuál es más arriesgada utilizando esta definición.

Answer 3

Me pregunto si es posible comparar los riesgos entre dos loterías sin dar la función de utilidad.

¿Qué quiere decir con esto? ¿Quiere decir que no conocemos la función de utilidad? O que suponemos que es lineal, por ejemplo, $U(x) = ax + b$ ? Si se trata de este último caso, entonces no se está evitando realmente una formulación de las preferencias de riesgo basada en la utilidad... simplemente se está asumiendo la neutralidad del riesgo.

¿Podemos decir que una lotería es más arriesgada que la otra?

Como señala Giskard, esta es una pregunta extraña porque hay muchas definiciones posibles de riesgo, y requiere que se proporcione mucha información adicional que puede no tener un respaldo sólido. Se renuncia a muchas cosas al ignorar las funciones de utilidad en los debates sobre las preferencias de riesgo, incluida la capacidad de evaluar las loterías en términos de preferencia, en lugar de "riesgo", que es lo más parecido a una norma para comparar riesgos que tenemos.