Para $\beta = 1$ SABR tiene una distribución log-normal y para $\beta = 0$ SABR se distribuye normalmente. Esta es una propiedad muy común mencionada en casi todos los documentos sobre SABR. Pero no puedo encontrar la derivación matemática (podría ser realmente simple de derivar), lo que lleva a mi pregunta:
Cómo pruebo que SABR es log-normal para $\beta=1$ y normal para $\beta=0$ ?
En primer lugar, es importante aclarar que el subyacente no es necesariamente normal/lognormal, sino que para los casos especiales de $\beta$ el subyacente es normal/lognormal Condicionado a una realización de la volatilidad . Como se menciona en la respuesta de @ilovevolatility. El cálculo estocástico simple mostrará las propiedades que has mencionado. Para volatilidad realizada se mantiene lo siguiente: $$ dS_t = S_t^\beta\sigma_tdW_t, $$ Para $\beta=1$ , $dS_t=S_t\sigma_tdW_t$ , $S_t$ se convierte en movimiento geométrico browniano lo que significa que en el momento $t$ la distribución de $\log S_t$ se da: $$ \log S_T \sim N(S_t,\sigma_t^2(T-t)) $$ Para $\beta=0$ : $$dS_t=\sigma_tdW_t$$ que puede escribirse en forma integral $$ S_T=S_t + \int^T_t \sigma_t^2 dW_u $$ Según la teoría del cálculo estocástico, la integral se distribuye normalmente con media cero y varianza $\sigma_t^2(T-t)$ : $$ S_T \sim N(S_t,\sigma_t^2(T-t))$$
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No creo que sea cierto que la distribución subyacente sea perfectamente lognormal/normal en esos casos. La presencia de vol estocástico dará a la distribución colas gordas, por ejemplo.
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¿Podría proporcionar una referencia para esta afirmación?
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El documento de Hagan Managing Smile Risk tiene un gráfico de la sonrisa para Beta=0 y 1 (si el vol implícito tiene una sonrisa entonces la distribución debe ser de cola gorda)