¿Es posible modificar el modelo EOQ para que funcione en un entorno de compras cuando los costes de los pedidos son efectivamente $0$ ?
El modelo clásico de EOQ es: $$ Q=\sqrt{2aK/h} $$
con $a$ siendo la demanda, $K$ los costes de los pedidos, y $h$ los costes de mantenimiento. Si $K$ es $0$ se obtiene una cantidad de pedido de $0$ . ¿Existe alguna forma óptima de determinar la cantidad de pedido cuando no hay costes de pedido?
Los costes totales del pedido son
$TC(Q)=P\cdot a+\frac{a\cdot K}{Q}+\frac{h\cdot Q}{2}$
Si K=0 TC se convierte en
$TC(Q)=P\cdot a+\frac{h\cdot Q}{2}$
P \cdot a es una constante. Denotémosla como c.
$TC(Q)=c+\frac{h}{2}Q$
Se puede ver que TC es una línea recta con una pendiente de $\frac{h}{2}$ y un dominio de $Q \in \mathbb R^+$ . El coste marginal es
$\frac{dTC}{dQ}=\frac{h}{2}$
Es una constante. Por lo tanto, no existe una única cantidad óptima de pedido.
La tienda tiene capacidad. Este es el límite superior del pedido. Si todavía tiene mercancía en el almacén, el pedido máximo es la capacidad (c) menos la mercancía en el almacén (x).
Por lo tanto, puede pedir entre $0$ (exclusivo) y $c-x$ bienes (inclusive). El coste total del inventario será siempre el mismo para una demanda determinada en un periodo.
Con unos costes de pedido iguales a cero, sólo hay que optimizar los costes de mantenimiento.
Dado que los costes totales de mantenimiento son
$$TC_h=\frac {hQ}{2}$$
es monotónicamente decreciente en $Q$ . $Q$ puede estar limitada, por ejemplo,
$$Q \geq Q_m >0$$
donde $Q_m$ expresar las limitaciones que puedan imponer los proveedores en cuanto a la "cantidad mínima de pedido".
Por tanto, la Cantidad Económica de Pedido óptima es "la menor cantidad posible por pedido".
Formalmente el Lagrangean del problema se puede escribir como
$$\Lambda = \frac {hQ}{2} + \lambda (Q_m-Q) $$
las condiciones de primer orden son
$$\frac {\partial \Lambda}{\partial Q} \leq 0 \implies \frac {h}{2} \leq \lambda$$
$$\frac {\partial \Lambda}{\partial \lambda} \leq 0 \implies Q_m-Q^* \leq 0$$
Desde $h>0 \implies \lambda >0$ . Si el multiplicador en el óptimo no es cero, entonces la restricción es vinculante y obtenemos
$$Q^* = Q_m$$
Esto se convertiría de nuevo en un problema más complejo e interesante, si el precio unitario del producto pasara a depender (y a disminuir) de la cantidad por pedido (porque, digamos, un menor número de entregas por parte de los proveedores reduce su gastos de transporte y por eso te hacen un descuento si pides más por pedido).
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Normalmente, en estos casos en los que las fórmulas fallan (ocurre sobre todo cuando algo es 0 o infinito) hay que pensar fuera de la fórmula. Lo que se obtiene entonces es una "solución de esquina", en la que hay que pensar lógicamente en el problema y dar con alguna restricción (de nuevo, a menudo implica 0 o infinito si no hay una restricción explícita (como una restricción presupuestaria)). No estoy familiarizado con este modelo, pero esperaría que en este caso, si no hay coste de ordenación, la cantidad de ordenación fuera infinita. Espero que esto ayude. :)