Equivalencia de definiciones de continuidad

Question

Una de las definiciones de continuidad es que el conjunto de contorno superior y el conjunto de contorno inferior están cerrados.

Estoy tratando de mostrar que si la preferencia es continua y$x>y>z$, entonces hay$\alpha \in [0,1]$ tal que$\alpha x+(1-\alpha)z>y$

¿Puedes ayudarme a demostrar el segundo utilizando la cercanía?

Answer 1

Creo que una prueba por contradicción sería más fácil (si sus preferencias son completas). Si no existe tal$\alpha$, entonces cada$\alpha x + (1-\alpha)z$ está en el conjunto de contorno inferior (débil) de$y$, que está cerrado. Ahora construya una secuencia (o red).

Answer 2

SUGERENCIA: es más fácil si pasa por el paso intermedio que el conjunto$\{\alpha \in[0,1]: \alpha x+(1-\alpha) z \succsim y\} $ se cierre para cada$x,y,z$