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Esquema implícito de diferencias finitas

Estoy tratando de resolver la siguiente EDP numéricamente utilizando un esquema FD implícito:

\begin{equation} \frac{\sigma_s^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \rho \sigma_S \sigma_\alpha\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial \alpha} + \frac{\sigma_\alpha^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial \alpha^2} + \mu_s \frac{\partial V}{\partial S} + \mu_\alpha \frac{\partial V}{\partial \alpha} + \frac{\partial V}{\partial t} - rV \end{equation}

Esto plantea las siguientes dos cuestiones que aún no he podido averiguar:

  • Al sustituir las derivadas con aproximaciones FD, es la parte $rV$ sustituido por $rV_{i,j,k}$ o $rV_{i,j,k+1}$ ?

  • Al reescribir la fórmula FD en forma de $V_{k}=AV_{k+1} - C$ son los valores límite necesarios para calcular $C$ tomado de $V_{k+1}$ o $V_k$ ?

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¿Puede aclarar su notación de tiempo: es $k+1$ antes o después $k$ ?

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En mi configuración $k+1$ es antes de $k$ . Más concretamente, expreso la dimensión temporal en términos de tiempo de maduración $\tau$ . Por lo tanto, en mi código $k=0$ corresponde a $\tau_0=0$ (que corresponde a $t=T$ , donde $T$ denota la expiración). De la misma manera, $\tau_{max}=T$ (correspondiente a $t=0$ ).

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Entonces hay que sustituirlo por $rV_{i,j,k+1}$ Si se consideran dos instancias $t$ y $s$ , $s>t$ la posición $V_t$ gana la tasa $r$ de $t$ à $s$ por lo que se gana en el valor $V_t$ .

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Michał Górny Puntos 351

Cuando se utiliza el esquema (Euler) Implícito, lo único que se toma en el nivel de tiempo anterior (aquel para el que ya se tiene la solución), es el $V_{i,j,k}$ que proviene de la derivada del tiempo. Todo lo demás en la ecuación discretizada se toma en el siguiente nivel de tiempo. Así que, para tus dos preguntas, es k+1.

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