Estoy tratando de resolver la siguiente EDP numéricamente utilizando un esquema FD implícito:
\begin{equation} \frac{\sigma_s^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \rho \sigma_S \sigma_\alpha\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial \alpha} + \frac{\sigma_\alpha^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial \alpha^2} + \mu_s \frac{\partial V}{\partial S} + \mu_\alpha \frac{\partial V}{\partial \alpha} + \frac{\partial V}{\partial t} - rV \end{equation}
Esto plantea las siguientes dos cuestiones que aún no he podido averiguar:
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Al sustituir las derivadas con aproximaciones FD, es la parte $rV$ sustituido por $rV_{i,j,k}$ o $rV_{i,j,k+1}$ ?
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Al reescribir la fórmula FD en forma de $V_{k}=AV_{k+1} - C$ son los valores límite necesarios para calcular $C$ tomado de $V_{k+1}$ o $V_k$ ?
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¿Puede aclarar su notación de tiempo: es $k+1$ antes o después $k$ ?
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En mi configuración $k+1$ es antes de $k$ . Más concretamente, expreso la dimensión temporal en términos de tiempo de maduración $\tau$ . Por lo tanto, en mi código $k=0$ corresponde a $\tau_0=0$ (que corresponde a $t=T$ , donde $T$ denota la expiración). De la misma manera, $\tau_{max}=T$ (correspondiente a $t=0$ ).
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Entonces hay que sustituirlo por $rV_{i,j,k+1}$ Si se consideran dos instancias $t$ y $s$ , $s>t$ la posición $V_t$ gana la tasa $r$ de $t$ à $s$ por lo que se gana en el valor $V_t$ .
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En cuanto a los valores de contorno, eso dependería de sus condiciones de contorno, podrían depender de $V_k$ s, $V_{k+1}$ o ambos.
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Alternativamente, puede deshacerse del $rV$ resolviendo la EDP para $U = e^{-rt}V$
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@DaneelOlivaw Tiene todo el sentido para mí ahora por qué tomar $V_{k+1}$ . Mientras escribía la versión previa a la edición de este comentario también entendí su comentario relacionado con mi segunda pregunta. Gracias.
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@AntoineConze ¿Podría explicar cuál sería el beneficio de adoptar ese enfoque?
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La mejora de la precisión no añade el error extra que proviene del esquema de aproximación $e^{-rdt}$ con $1-rdt$ o $1/(1+rdt)$