Supongamos que tengo una acción con rendimientos anuales, $a_i $ para el año $i\in \left\{1,...n\right\}$ y rendimientos mensuales $m_{i,j}$ por mes $j\in \left\{1,...12\right\}$ . Definamos los rendimientos mensuales para que sean iguales cada mes dentro de un año, de modo que $m_{i,j} = \frac{a_i}{12}$ .
Dejemos que $\bar{a}$ y $\bar{m}$ denotan las medias de los rendimientos anuales y mensuales, respectivamente, por lo que $$\bar{a}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i\quad\text{and}\quad{}\bar{m}=\frac{1}{12n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{12} m_{i,j}=\frac{1}{12n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{12}\frac{a_i}{12}=\frac{1}{12n}\sum_{i=1}^na_i=\frac{\bar{a}}{12}$$
Entonces la volatilidad mensual de los rendimientos es: $$\begin{align*} \sigma_{m} &= \sqrt{\frac{1}{12n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{12} \left(m_{i,j}-\bar{m} \right)^2}\\ &= \sqrt{\frac{1}{12n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{12} \left(\frac{a_i}{12}-\frac{\bar{a}}{12}\right)^2 }\\ &= \sqrt{\frac{1}{12n}\left(\frac{1}{144}\right)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{12} \left(a_i-\bar{a}\right)^2 }\\ &= \sqrt{\frac{1}{12n}\left(\frac{1}{144}\right) \sum_{i=1}^n12\left(a_i-\bar{a}\right)^2 }\\ &= \sqrt{\frac{1}{n}\left(\frac{1}{144}\right) \sum_{i=1}^n\left(a_i-\bar{a}\right)^2 }\\ &= \frac{1}{12}\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(a_i-\bar{a}\right)^2 }\\ &= \frac{\sigma_a}{12} \end{align*}$$
En otras palabras $$\sigma_a = 12\sigma_m$$ . Esto parece contradecir https://en.wikipedia.org/wiki/Volatility_(finanzas) donde dicen que la volatilidad generalizada en $T$ periodos de tiempo es $\sigma_T = \sigma \sqrt{T}$ . ¿Qué estoy haciendo mal?
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" Definamos los rendimientos mensuales para que sean iguales cada mes dentro de un año" parece que estás considerando los rendimientos (logarítmicos) como deterministas (asumo que son logarítmicos porque de lo contrario no podrías sumar los rendimientos mensuales para obtener uno anual). No lo son. Por lo tanto, no entiendo qué $m_{i,j} = \frac{a_i}{12}$ significa. La afirmación a la que te refieres es simplemente que la varianza de una suma de variables iid es la suma de sus varianzas.