Cómo expresar el modelo de Derman Negro y Juguete en un $dr=A\,dt+B\, dW$ ¿forma?

Question

El Derman Negro y el Juguete ( BDT ) viene dado por

$$d(\ln\,r)=\left(\theta(t)-\frac {d(\ln\sigma(t))}{dt}\ln r\right)\,dt+\sigma(t) \, dW.$$

¿Cómo se puede reescribir el modelo de la BDT como $dr=A\,dt+B\, dW$ ¿ usando Ito ?

Busqué por todas partes pero no hubo respuesta.

Answer 1

Si vamos a tener la forma \begin {align*} dr = A dt + BdW_t, \end {align*} Entonces tanto A como B son funciones de $t$ y $r_t$ de lo contrario, $r_t$ es normal. Sin embargo, tenga en cuenta que \begin {align*} r_t = \exp\Bigg ( \frac {1}{ \sigma (t)} \bigg ( \int_0 ^t \theta (s) \sigma (s) ds + \sigma (0) \ln r_0 + \int_0 ^t \sigma ^2(s) dW_s \bigg ) \Bigg ). \end {align*} Es decir, $r_t$ es logarítmica normal, suponiendo que tanto $\theta(t)$ y $\sigma(t)$ son deterministas.

Desde \begin {align*} d( \ln\ r_t)= \Big ( \theta (t)- \frac {d( \ln\sigma (t))}{dt} \ln r_t \Big )\N-\N-Dt+ \sigma (t) \N, dW_t, \end {align*} obtenemos que \begin {align*} dr_t &= d \big (e^{ \ln r_t} \big ) \\ &= r_t \Big ( d \ln r_t + \frac {1}{2} \langle d \ln r_t, \N, d \ln r_t \rangle\Big ) \\ &= r_t \bigg [ \Big ( \theta (t)- \frac {d( \ln\sigma (t))}{dt} \ln r_t + \frac {1}{2} \sigma ^2(t) \Big )\N-\N-Dt+ \sigma (t) \N, dW_t \bigg ]. \end {align*}

Answer 2

Así que tengo un signo "+" para el segundo término (no negativo)

dr =r[((t)+ d(ln)/dt * lnr + 1/2*^2) dt + dW]

He omitido el subíndice t's.....

Puedes dejar que V = log r y luego aplicar Ito y resolver para A y B... donde B = r*