El cálculo de la Volatilidad Implícita de una opción put

Question

Estoy tratando de encontrar el Black-Scholes implícita vol de una opción put. Yo sé cómo hacer esto en el caso de una opción de venta sobre un underlier $S(t)$donde $$ p(t, K) = e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_Q\Big[ (K - S(T))_+ \vert \mathcal{F}_t \Big] $$ Sin embargo, en mi caso estoy trabajando con una inflación baja (una opción de venta sobre la anual inflaiton tasa). En este caso, el precio de la opción de venta (cuando suponiendo constante tasa abreviada) está dada por $$ p(t, K) = e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_{Q}\Big[ \Big((1+k)^{T-t} - \frac{I(T)}{I(t)}\Big)_+ \vert \mathcal{F}_t \Big] $$ donde $I(t)$ indica un índice de precios, y $k$ denota el precio de ejercicio de la planta

Ahora, para traducir este problema en el caso de que ya sé cómo resolver puedo tomar $$ K = (1+k)^{T-t} $$ y $$ S(T) = \frac{I(T)}{I(t)} $$ y, a continuación, simplemente calcular el implícita vol igual que lo habitual (el uso de una raíz finder). Sin embargo, mi raíz del buscador, no aporta ningún raíces.

Los datos que estoy utilizando es el siguiente:

$S(t) = \frac{I(t)}{I(t)} = 1$

El tiempo de maduración $= 1$ año

$r = -0.1425\%$

$K = (1+0.025)^{1} = 1.025$

El precio de la opción de $= 0.0156$

Esto es real de datos y estoy seguro de que es correcta. Por lo tanto, no es un error en la metodología o en mi interpretación de los datos. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Yo no soy un experto en derivados de Inflación, así que me limitaré a dar una explicación sobre el por qué de su buscador, no aporta ningún raíz.

En el Black & Scholes marco, se sostiene por el precio de Europea de opciones de venta:

$$P_{B S}(\sigma=0, T, K, S)=\left(K e^{-r(T-t)}-S\right)^{+},$$ $$P_{B S}(\sigma=\infty, T, K, S)=K e^{-r(T-t)}.$$

Dados los parámetros de siempre, el precio de la Inflación opción Put suponiendo que la volatilidad es aproximadamente:

$$\left(K e^{-r(T-t)}-S\right)^{+}\approx0.02646.$$

El espacio Europeo de Poner precio de la opción es monótona creciente y continua de la función de la volatilidad. Por lo tanto, debido a que el precio de 0 volatilidad es mayor que su precio de referencia, no existe la volatilidad de los rendimientos de su precio de referencia en el BS marco.

Answer 2

En el momento $T$, estándar floorlet paga:

$$ N\tau \left[\kappa - (I(T)I(S)^{-1} -1)\right]^+$$

con $N$ nominal, $\kappa$ huelga, $S < T$, e $\tau$ día cuente fracción.

Estándar de piso es simplemente una tira de floorlets compartiendo una huelga de pago en cada una de las $T_i$, $i=1,...,M$:

$$ N\tau_i \left[\kappa - (I(T_i)I(T_{i-1})^{-1} -1)\right]^+$$

Su rentabilidad es de un cupón cero opción de venta y paga al vencimiento $T$ (en años):

$$ N\left[(1+\kappa)^T - I(T)I_0^{-1} \right]^+ $$

Para un marco de fijación de precios ver Brigo y Mercurio del libro, la Tasa de Interés de los Modelos de la Teoría y la Práctica Con una Sonrisa, la Inflación y el Crédito. Hay dos modelos estándar introducido allí:

• Jarrow-Yildirim modelo que necesita la volatilidad de las tasas de interés reales y
• un segundo modelo de mercado que utiliza la volatilidad del índice de correlación del índice y la tasa nominal.