Covarianza de una cartera de GMV con cualquier activo

Question

¿Por qué la covarianza de una cartera de varianza mínima global (VGM) en la frontera eficiente con cualquier activo es siempre la misma?

Answer 1

Aquí está la prueba matemática completa. Sea g sea la cartera de GMV y p ser otro activo.

Lo tenemos:

$$ \begin{align*} Cov(x_g, x_p) &= E[{w_g}^T (x- \overline{x}) {(x- \overline{x})}^Tw_p]\\ &= {w_g}^TE[(x- \overline{x}) {(x- \overline{x})}^T]w_p\\ &= {w_g}^T\Sigma w_p \\ &= (\displaystyle\frac{{i}^T {\Sigma}^{-1}}{C})\Sigma w_p\\ &= \displaystyle\frac{{i}^Tw_p}{C}\\ &= \displaystyle\frac{1}{C} \end{align*} $$

donde $C = 1^T {\Sigma}^{-1} 1 $

Answer 2

He aquí una prueba más cualitativa: Imaginemos que el MVP global tuviera dos covarianzas distintas con otras dos carteras. Esto significa que una diversificación adicional utilizando estos 3 activos daría lugar a una cartera con una varianza inferior a la del MVP global. Esto sería contradictorio con el hecho de que el MVP global tiene la menor varianza de retorno posible para una matriz de covarianza dada $\Sigma$ . Por lo tanto, la covarianza del MVP global con cualquier otro activo o cartera es constante.