¿Cómo se interpreta este SDE?

Question

Vi este modelo

$$\frac{dF(t,T)}{F(t,T)} = \sigma(t,T) dW_t + (\exp(e^{-a(T-t)}dJ_t)-1) + \mu_J(t,T)dt$$

para modelar la curva forward. Reescribiendo

$$dF(t,T) = \sigma(t,T)F(t,T) dW_t + F(t,T)(\exp(e^{-a(T-t)}dJ_t)-1) + F(t,T)\mu_J(t,T)dt$$

No entiendo muy bien cómo se puede escribir esto en forma integral. es decir,

$$F(s,T) = F(0,T) + \int^s_0\sigma(t,T)F(t,T) dW_t + \int^s_0 F(t,T)\mu_J(t,T)dt + \cdots$$

No sé qué debería ser "$\cdots$".

Answer 1

$\require{cancel}$

Considerando la siguiente EDP $$ \frac{dF(t,T)}{F(t,T)} = \sigma(t,T) dW_t + (\exp(e^{-a(T-t)}dN_t)-1) + \mu_J(t,T)dt $$ donde $N_t$ representa un proceso de Poisson estándar, supuestamente independiente del movimiento Browniano estándar $W_t$.

Esta EDP debería interpretarse considerando a $N_t$ como lo que es, es decir, un proceso de conteo aleatorio con, intuitivamente, $dN_t$ igual a cero en todas partes excepto en fechas de salto (aleatorias) donde es igual a +1. Sabiendo esto, puedes reescribir el término de salto como: $$ \exp(e^{-a(T-t)}dN_t)-1 = \left(\exp(e^{-a(T-t)})-1\right)dN_t $$ lo cual es una práctica notacional mejor (el -1 que estaba solo en el LHS era un poco extraño), por lo que tenemos $$ \frac{dF(t,T)}{F(t,T)} = \mu_J(t,T)dt + \sigma(t,T) dW_t + \left(\exp(e^{-a(T-t)})-1\right)dN_t \tag{0} $$

Ahora, como sugirió @Kiwiakos, permitiendo $$ f(t,T) = \ln F(t,T) $$ y aplicando el lema de Itô para semi-martingalas con saltos, se obtiene: $$ df(t,T) = \underbrace{\left(\mu_J(t,T)-\frac{\sigma(t,T)^2}{2}\right) dt + \sigma(t,T) dW_t}_{\text{parte de difusión}} + \underbrace{(f(t,T)-f(t^-,T))dN_t}_{\text{parte de salto}} \tag{1} $$

La EDP original $(0)$ entonces nos dice que, en una fecha de salto $t$: $$ \underbrace{\frac{F(t,T) - F(t^-,T)}{F(t^-,T)}}_{dF(t,T)/F(t,T)} = \underbrace{0}_{\text{parte continua (no salto)}} + \underbrace{ \exp(e^{-a(T-t)})-1}_{\text{parte no continua ($dN_t=1$)}} $$ o equivalentemente: $$ F(t,T) \cancel{- F(t^-,T)} = \exp(e^{-a(T-t)}) F(t^-,T) \cancel{- F(t^-,T)}$$ mostrando que en una fecha de salto $$ f(t,T) - f(t^-,T) = \ln(F(t,T)/F(t^-,T)) = e^{-a(T-t)}$$ Por lo tanto, la expresión equivalente del lema de Itô aplicado a $f(t,T)$ $$df(t,T) = \left(\mu_J(t,T)-\frac{\sigma(t,T)^2}{2}\right) dt + \sigma(t,T) dW_t + e^{-a(T-t)}dN_t \tag{2} $$

lo cual puede integrarse fácilmente.

Answer 2

Parece ser un proceso de difusión con saltos. Puedes tomar $f(t,T)=\log F(t,T)$, aplicar la fórmula de Ito para procesos de difusión con saltos y continuar a partir de ahí. No puedo ver cómo tomar la integral directamente te pueda llevar a algún lado.