Cómo derivar la función de utilidad de la utilidad indirecta en este ejercicio

Question

Derive la función de utilidad directa del consumidor si su función de utilidad indirecta tiene la forma

$$v(\boldsymbol{\mathbf{p}},y)=yp_1^\alpha p_2^\beta$$

en los que %-%-% son negativos.

Answer 1

Utilice la identidad de Roy para encontrar funciones de demanda: $$\displaystyle x_1=-\frac{\frac{\partial v}{\partial p_1}}{\frac{\partial v}{\partial y}} =-\frac{\alpha yp_1^{\alpha-1} p_2^\beta}{p_1^\alpha p_2^\beta}=-\frac{\alpha y }{p_1} $$

$$\displaystyle x_2=-\frac{\frac{\partial v}{\partial p_2}}{\frac{\partial v}{\partial y}} =-\frac{\beta yp_1^{\alpha} p_2^{\beta-1}}{p_1^\alpha p_2^\beta}=-\frac{\beta y }{p_2} $$

Desde %-%-%, de las expresiones de demanda anteriores obtenemos %-%-%. Las ecuaciones de demanda anteriores también se pueden reescribir como:

$p_1x_1 + p_2x_2 = y$$ $-\alpha -\beta = 1$$

Multiplicarlos obtenemos lo siguiente: $$x_1^{-\alpha} = (-\alpha y)^{-\alpha}p_1^\alpha$$

Comparándolo con la función de utilidad indirecta, obtenemos la función de utilidad directa como:

$$x_2^{-\beta} = (-\beta y)^{-\beta}p_2^\beta$$