Instantáneo de la velocidad de avance en el marco HJM

Question

dentro de los HJM marco, la dinámica de la instantáneos de la velocidad de avance se definen por:

$$f_t(T)=f_0(T) + \int_0^t\alpha_s(T)ds+\int_0^t\sigma_s(T)dW_s$$

o en el diferencial de la forma: $$df_t(T)=\alpha_t(T)dt+\sigma_t(T)dW_t$$

En la literatura (como Tankov, usted puede encontrar la dirección url de abajo), está escrito que: $$d\left(\int_t^Tf_t(u)du\right)= -f_t(t)dt+\int_t^Tdf_t(u)du $$ Yo no podía encontrar una prueba y Tankov menciona como es trivial.

página 96 en :https://masterfinance.math.univ-paris-diderot.fr/attachments/article/47/processus_en_finance_6_7.pdf

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Esto se conoce como la clásica regla de Leibniz. El enlace envía a la Wikipedia, donde se puede encontrar una prueba. Permite diferenciar bajo el signo integral. Una declaración general de que la fórmula es: $$\text{d}\left(\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,s)\text{d}s\right)=h'(x)f(x,h(x))\text{d}x-g'(x)f(x,g(x))\text{d}x+\int_{g(x)}^{h(x)}\text{d}f(x,s)\text{d}s$$

Answer 2

Es sólo una aplicación de la integral de Leibniz regla, escrita en forma diferenciada. Por favor ver aquí: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule

Capital T es constante, t es el cambio, por lo que el segundo término en el lado derecho es el intercambio de integral y diferencial, el primer término en el lado derecho es el valor de la función en la parte inferior de integración límite de veces derivado de t wrt t (que es 1), el valor de la función en la parte superior de integración límite de plazo que se ven en la regla de Leibniz es cero aquí porque T se considera constante.