¿Cómo expresar la variación condicional esperada en el marco de la medida de neutralidad del riesgo?

Question

La expectativa condicional de variación en el marco de la medida de neutralidad del riesgo es

$$\mathbb {E}^Q[V_T |S_T=K]$$

donde $S_T$ y $K$ representan el precio de contado al vencimiento y el precio de ejercicio, respectivamente.

Asumo que conozco la densidad de riesgo neutral $q(V,S,t)$ Quiero calcular el inverso de la expectativa condicional de $V_T$ . ¿Debería usar esta fórmula
$$\frac {1}{ \mathbb {E}^Q[V_T|S_T=K]} = \frac {1}{ \int V_t \cdot q(v,s,t) \cdot dV}$$ u otra fórmula

$$\frac {1}{ \mathbb {E}^Q[V_T|S_T=K]} = \frac { \int q(v,s,t) \cdot dV}{ \int V_t \cdot q(v,s,t) \cdot dV}$$

Además, si
$$g(v,s,t) \approx q(v,s,t) \cdot dv \cdot ds$$ Me pregunto si podemos conseguir
$$\Bbb {E}^ \Bbb {Q} \left [ V_T \vert S_T = s \right ] = \frac { \int_\Omega v\,q_{V_T,S_T}(v, s,T) dv}{ \int_\Omega q_{V_T,S_T}(v, s,T) dv} \approx \frac { \sum v \cdot q_{V_T,S_T}(v,s,t) \cdot dv }{ \sum q_{V_T,S_T}(v,s,t) \cdot dv}$$

$$= \frac { \sum v \cdot \frac {g(v,s,t)}{dv \cdot ds} \cdot dv }{ \sum \frac {g(v,s,t)}{dv \cdot ds} \cdot dv} = \frac { \sum v \cdot g(v,s,t)}{ \sum g(v,s,t)}$$

¡Gracias!

Answer 1

Supongamos que $q_{V_T,S_T}(v,s,T)$ representa el pdf conjunto conocido de 2 variables aleatorias continuas $V_T$ y $S_T$ bajo alguna medida de probabilidad $\Bbb{Q}$ . Supongamos además que el dominio de definición de $V_T$ es $\Omega$ .

Por definición del operador de expectativa + función de densidad de probabilidad condicional $$\Bbb{E}^\Bbb{Q}\left[ V_T \vert S_T = s \right] = \int_\Omega \, q_{V_T \vert S_T}(v, s, T) dv$$

De la regla del producto de la probabilidad $$q_{V_T \vert S_T}(v, s, T) q_{S_T}(s,T) = q_{V_T,S_T}(v, s,T)$$ por lo tanto, volviendo al cálculo de las expectativas $$\Bbb{E}^\Bbb{Q}\left[ V_T \vert S_T = s \right] = \frac{\int_\Omega v\, q_{V_T,S_T}(v, s,T) dv}{q_{S_T}(s,T)}$$ Finalmente, utilizando la regla de la suma para expresar el marginal $q_{S_T}$ de la junta pdf $q_{V_T,S_T}$ uno recibe: $$\Bbb{E}^\Bbb{Q}\left[ V_T \vert S_T = s \right] = \frac{\int_\Omega v\, q_{V_T,S_T}(v, s,T) dv}{\int_\Omega q_{V_T,S_T}(v, s,T) dv}$$ lo que equivale a la segunda fórmula que mencionas.