¿El valor en riesgo es aditivo?

Question

He calculado el valor en riesgo de 2 productos básicos diferentes.

Suponiendo que no están correlacionados, ¿puedo simplemente sumar los dos VaR independientes para obtener el VaR global de mi cartera?

Answer 1

La respuesta a su pregunta es no . El valor en riesgo no es aditivo en el sentido de que $\text{VaR}(X+Y) \neq \text{VaR}(X) + \text{VaR}(Y)$ . Pero supongo que tu pregunta va más encaminada a encontrar una fórmula para tus inversiones que a mirar la propiedad en sí.

Creo que la única forma de obtener una fórmula agradable para esto es asumir que ambos activos lo son:

• Distribución normal
• Tener una media igual a 0
• Son independientes

Valor en riesgo de forma cerrada para la variable normal

Matemáticamente, el valor en riesgo en un nivel determinado $\alpha$ se define como:

$$\text{VaR}_\alpha(X) = \{ y ~ | ~ \mathbb{P}( X\leq y) = \alpha \}$$

Si puede asumir que la variable $X$ se distribuye normalmente de forma que $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ , entonces se puede reexpresar $X$ en términos de otra variable $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ : $X = \mu + \sigma Z$ .

Usando esto, sabemos que podemos reescribir la definición del VaR como

$$\begin{align} \text{VaR}_\alpha(X) &= \{ y ~ | ~ \mathbb{P}( \mu + Z\sigma\leq y) = \alpha\}\\ &= \left\{ y ~ | ~ \mathbb{P}\left( Z \leq \frac{ y- \mu}{\sigma} \right) = \alpha \right\}\\ &= \left\{ y ~ | ~ \Phi\left( \frac{ y- \mu}{\sigma} \right) = \alpha \right\}\\ \end{align}$$

donde $\Phi(x)$ es la función de distribución normal acumulativa.

Podemos entonces encontrar una fórmula de forma cerrada para el valor en riesgo de una variable normalmente distribuida $X$ :

$$\text{VaR}_\alpha(X) = \Phi^{-1}(\alpha) \cdot\sigma + \mu$$

Distribución de la cartera de dos variables normales

Ahora, supongamos que la cartera $Y$ tiene dos activos $X_1$ y $X_2$ (las dos materias primas de su ejemplo), que no están correlacionadas ( $\rho = 0$ ).

Si se supone que ambos están distribuidos normalmente $X_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1)$ y $X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2)$ entonces sabemos que la cartera se puede expresar como

$$\begin{align} Y &= wX_1 + (1-w)X_2\\ &= w(\mu_1 + \sigma_1 Z_1) + (1-w)(\mu_2 +\sigma_2 Z_2)\\ &= w\mu_1 + (1-w) \mu_2 + w\sigma_1 + w \sigma_1 Z_1 + (1-w) \sigma_2 Z_2 \end{align}$$

Por lo tanto, sabemos que:

$$\mathbb{E}(Y) = w\mu_1 + (1-w) \mu_2$$

y

$$\text{Variance}(Y) = \sigma_Y^2 = w^2 \sigma_1^2 + (1-w)^2 \sigma_2^2$$

porque sus activos son independientes.

Como sabemos, la suma de 2 variables normalmente distribuidas también se distribuye normalmente, por lo tanto: $$Y \sim \mathcal{N}(w\mu_1 + (1-w) \mu_2, w^2 \sigma_1^2 + (1-w)^2 \sigma_2^2)$$

Valor en riesgo de la cartera

Utilizando la fórmula del valor en riesgo para la variable normal que encontramos anteriormente, podemos escribir:

$$\begin{align} \text{VaR}_\alpha(Y) &= \Phi^-1(\alpha) \sigma_Y + \mu_y\\ \text{VaR}_\alpha(Y) &= \Phi^-1(\alpha) \sqrt{w^2 \sigma_1^2 + (1-w)^2 \sigma_2^2} + w\mu_1 + (1-w) \mu_2\\ \end{align}$$

Si se asume que $\mu_1 = \mu_2 = 0$ entonces lo tienes:

$$\begin{align} \text{VaR}_\alpha(Y) &= \Phi^-1(\alpha) \sqrt{w^2 \sigma_1^2 + (1-w)^2 \sigma_2^2}\\ \text{VaR}_\alpha(Y)^2 &= \Phi^-1(\alpha)^2 (w^2 \sigma_1^2 + (1-w)^2 \sigma_2^2)\\ \text{VaR}_\alpha(Y)^2 &= \Phi^-1(\alpha)^2 w^2 \sigma_1^2 + \Phi^-1(\alpha)^2 (1-w)^2 \sigma_2^2\\ \text{VaR}_\alpha(Y)^2 &= w^2 \text{VaR}_\alpha(X_1)^2 + (1-w)^2 \text{VaR}_\alpha(X_2)^2\\ \text{VaR}_\alpha(Y) &=\sqrt{ w^2 \text{VaR}_\alpha(X_1)^2 + (1-w)^2 \text{VaR}_\alpha(X_2)^2}\\ \end{align}$$

Answer 2

Hay que elevarlas al cuadrado, sumar los cuadrados y sacar root cuadrada. (Las varianzas son aditivas, no las desviaciones estándar).

Answer 3

No, porque el valor en riesgo no es, en general, una medida de riesgo coherente, ya que no respeta el propiedad de subaditividad es decir

$\rho(X + Y) \ne \rho(X) + \rho(Y)$ , $\forall X, Y \in \mathcal{X}$ para el $VaR$ .

Sin embargo, el Valor en Riesgo Condicional es. Compruebe ¿Es coherente el valor en riesgo condicional (CVaR)?

Answer 4

Bueno, si estás usando el VaR histórico, puedes sumar los resultados en cada escenario y luego calcular el percentil de los resultados... No hay otra manera.