Al estimar VAR(1) por OLS, obtengo la transposición de la matriz AR. ¿Por qué?

Question

Modelo: $y_t = \Phi y_{t-1} + (\mathbb{I_n}-\Phi)\mu + \Sigma \varepsilon_t$ s.t. $y_t$ es un $(n \times 1)$ vector, y $\varepsilon_t \sim N(\vec{0},\mathbb{I}_n)$ . $\mathbb{I}$ es la matriz de identidad. $\Phi$ y $\Sigma$ son $(n \times n)$ matrices.

Considere el siguiente código MATLAB.

Sigma = eye(2); %sqrtm(Covariance matrix)
Phi{1} = [0.9,0.12;0,0.9]; %Autoregressive matrix
mu = [0;0]; %Constant vector
nTs = 1000; %Length of simulation

%Specify Model
mdl = varm(2,1); 
mdl.AR = Phi;
mdl.Constant = mu;
mdl.Covariance = Sigma^2;

%Simulate Model
simTs = simulate(mdl,nTs); %Simulate VAR(1) (nTs x 2)

%Estimate Model
X = simTs(1:end-1,:);
Y = simTs(2:end,:); 
hatPhi = (X'*X)\(X'*Y)

>> hatPhi =
       0.8939  -0.0057
       0.1721   0.8732

Observe que la salida es la transposición de la matriz AR suministrada. ¿Por qué es esto? Me siento tonto, lol.

Answer 1

Veo que $n=2$ y $\mathbf \mu = \mathbb0$ . A nivel de observación simple (bidimensional), solemos escribir (ignorando el vector de perturbación)

$$\mathbf y_t = \Phi \mathbf y_{t,-1}$$

donde las dimensiones son para su caso $(2 \times 1) = (2 \times 2) \times (2 \times 1)$ .

Pero fíjese que la formulación de regresión estándar hace que el vector de coeficientes esté "a la derecha" de la matriz del regresor... así que para poder aplicar las fórmulas estándar de estimación OLS, transponemos y obtenemos

$$\mathbf y'_t = \mathbf y_{t,-1}'\Phi'$$

y a nivel de muestra completa obtenemos

$$\mathbf Y' = \mathbf Y_{-1}'\Phi'$$

donde con $T+1$ observaciones bidimensionales disponibles, las dimensiones son ( $T \times 2$ ) = $(T \times 2) \times (2 \times 2)$

Por lo tanto, al aplicar las fórmulas estándar de OLS como lo hace su código, el estimador estima $\Phi'$ no $\Phi$ .