¿Cómo utilizar black scholes para el comercio al contado?

Question

Como soy muy nuevo en este tema, me cuesta conectar el precio de las opciones con el comercio al contado.

¿Hay alguna forma de utilizar el modelo Black-Scholes para derivar los eventos de entrada y salida? ¿Algún blog o documento?

Acabo de empezar a investigar el modelo Black-Scholes de utilizar los cursos en línea en coursera y de alguna manera no encontrar el razonamiento para este enfoque, además de cálculo del precio de la opción.

¡Gracias!

Answer 1

Voy a suponer que querías preguntar cómo podemos utilizar los precios de las opciones para informar sobre la negociación de las acciones subyacentes.

El modelo Black-Scholes-Merton dice que bajo la medida física, la acción subyacente obedece a un movimiento browniano geométrico: \begin{equation} dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dZ_t. \end{equation} Se puede aplicar el Lemma de Ito e integrar para obtener \begin{equation} S_t = S_0 \exp \left( \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma Z_t \right). \end{equation} Ahora, $(Z_t)_{t \geq 0}$ es un movimiento browniano estándar bajo la medida física. Por definición, esto significa $Z_t \sim N(0, t)$ . En otras palabras, los rendimientos brutos $R_{0,t} := \frac{S_t}{S_0}$ se distribuyen con normalidad logarítmica; o, si lo prefiere, devuelve $r_{0,t} := ln S_t - ln S_0$ se distribuyen normalmente. La primera cuestión es que se trata de un mal modelo para el comportamiento de los rendimientos de la renta variable y de los índices de renta variable . Tanto si se comprueba la normalidad de los rendimientos como la normalidad logarítmica de los rendimientos brutos, se comprobará que es un mal modelo. O, si lo prefiere, es fácil encontrar modelos más flexibles que serán preferidos desde una perspectiva bayesiana, incluso si utiliza priores que favorecen este modelo.

Sin embargo, el interés del modelo Black-Scholes-Merton no era describir el comportamiento de los rendimientos de las acciones, sino proporcionar una forma de valorar las opciones europeas. Mi forma favorita de enfocar esto es decir que el teorema de Girsanov nos dice que el núcleo de fijación de precios que debemos utilizar es \begin{equation} m_t = m_0 \exp \left( - \int_0^t \theta_s ds - \frac{1}{2} \int_0^t \theta_s^2 ds \right) \end{equation} donde $\theta_t := \frac{\mu - r}{\sigma}$ es su ratio de Sharp. Para que quede claro, esta variable se elige para que $m_t S_t$ y $m_t B_t$ (donde $B_t$ sería el precio de un bono sin riesgo) son martingalas bajo las medidas físicas. Sucede que $\exp(r \tau) m_t$ es una derivada propia de Radon-Nikodym y se puede utilizar para cambiar a la medida neutral de riesgo: \begin{equation} C(t, t+\tau,, K, S_t) = E^P \left(m_{t+\tau} \left( S_{t+\tau} - K \right)_+ \right) = \exp(-r \tau) E^Q \left( \left( S_{t+\tau} - K \right)_+ \right). \end{equation} A partir de esas ecuaciones, se puede derivar la fórmula Black-Scholes-Merton. La restricción de la martingala en particular impondrá que $S_t$ crece a un ritmo de $r$ en lugar de $\mu$ en $Q$ y el teorema de Girsanov le dirá que una versión traducida y escalada de $Z_t$ es un movimiento browniano estándar bajo $Q$ . Con un poco de álgebra, se vería que los precios de las acciones siguen un movimiento browniano geométrico bajo $Q$ y obtendrá una expresión similar a la anterior para los precios. A partir de ahí, se aprovecharía la log-normalidad de los precios para calcular la expectativa bajo $Q$ y un poco de álgebra tediosa más tarde se llegaría a la famosa fórmula de Black-Scholes.

El problema con todo lo anterior es que se basa en un montón de suposiciones, una de las cuales dice que los arbitrajes que crees que puedes encontrar operando con acciones no pueden existir... Pero podría no ser un problema asegurable .

Si se asume que el argumento Black-Scholes-Merton es "casi" correcto en el sentido de que los mercados se desvían temporalmente de él y vuelven a él, se podría hacer algo interesante. En concreto, Black-Scholes-Merton te da una relación directa entre precios de las opciones y la densidad condicional de los rendimientos con cualquiera de las dos medidas. Incluso si el modelo es erróneo, nada le prohíbe utilizarlo para estimar los parámetros $\mu, \sigma$ utilizando los precios de las opciones e introduciéndolos en una distribución log-normal para tener una estimación de dónde es más probable que caigan los precios "más o menos según el mercado de derivados".

Pero, si quieres ir en esa dirección, puede haber mejores alternativas . En particular, Breeden y Litzenberger (1978) nos dieron una forma de relacionar la densidad neutral de riesgo con los precios de las opciones. En concreto, \begin{equation} f^Q(S_{t+\tau}, K) = \frac{\partial^2 C(t, t+\tau, K, S_t)}{\partial K^2}. \end{equation} Esto se puede aproximar utilizando una diferencia finita en una cuadrícula de precios de las opciones en el tiempo $t$ con todas las opciones que vencen en el momento $t + \tau$ . Eliges el momento en que maduran según el horizonte que quieras "pronosticar". Ahora, el giro aquí es que tienes densidades neutrales al riesgo: esto mezclará información sobre compensaciones de riesgo cambiantes y expectativas cambiantes. Sin embargo, nada dice que no se pueda apostar por un algoritmo de aprendizaje automático con una función de pérdida adecuada que no pueda utilizar estas entradas y aprender a proporcionarle la información que necesita como una previsión puntual, una previsión de intervalo o previsiones de cuantiles. La mayor ventaja del resultado de BL(1978) es que es lo más libre de modelos que se puede conseguir y permite utilizar grandes secciones transversales de opciones para decir algo potencialmente útil sobre el subyacente.

Answer 2

En resumen, no, no se puede utilizar el modelo Black-Scholes para derivar eventos de entrada y salida. Es una mala aproximación con varios defectos y, por lo tanto, hoy en día sólo se utiliza para obtener una medida de volatilidad llamada "volatilidad implícita". Como única variable latente en la ecuación del modelo, la volatilidad se utiliza para obtener el precio de mercado "correcto". La volatilidad implícita indica, por tanto, cuál debería ser la volatilidad para que el modelo BS llegue al precio de mercado actual.

El modelo Black-Scholes, debido a su relativa simplicidad, suele enseñarse para que la gente tenga una comprensión básica de la dinámica de los precios de las opciones. Desde entonces, se han propuesto varios modelos más sofisticados que corrigen las deficiencias del modelo BS, pero ninguno garantiza que se gane dinero.

Los modelos de fijación de precios de opciones pueden utilizarse para averiguar si una opción está sobrevalorada o infravalorada (en relación con su modelo y sus hipótesis, como los parámetros de entrada), pero incluso si el modelo indica que la opción debería valer más o menos, se necesita una contraparte con la que negociar o poder obtener un beneficio de arbitraje.