Fórmula de Black Scholes, término de deriva

Question

En la fórmula, la rentabilidad de las acciones se modela como un movimiento browniano que es una deriva + un término estocástico, vale, lo entiendo. Pero el término de deriva se modela como r - volatilidad ^ 2 / 2. No estoy seguro de cómo derivan esta "volatilidad ^ 2 / 2". ¿Se deriva del lema de Ito?

Answer 1

Esta deriva proviene de hacer que la acción descontada sea una martingala en la medida neutral de riesgo $\mathbb Q$

Se empieza con una acción en $\mathbb P$ teniendo esta forma: $$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$ También tiene un factor de descuento $e^{rt}$ .

La idea es eliminar la deriva del proceso descontado en $\mathbb Q$ por lo que se obtiene (tras aplicar el teorema de Girsanov) una martingala:

$$d\hat S_t = \sigma \hat S_t d \tilde W_t$$ donde $\hat S_t$ es la acción descontada y $\tilde W_t$ es un $\mathbb Q$ - el movimiento browniano.

Si se resuelve esta última EDE se obtiene

$$\hat S_t = \hat S_0\exp(\sigma W_t - \frac{1}{2}\sigma^2t)$$ Multiplicar con $e^{rt}$ en ambos lados se obtiene el proceso no descontado y la deriva por la que preguntabas.

Pero la esencia de por qué se obtiene el término de corrección $\frac{1}{2}\sigma^2t$ es cuando se resuelve la SDE $$dX_t = \sigma X_t dW_t$$ se obtiene $X_t = X_0 \exp(\sigma W_t - \frac{1}{2}\sigma^2t)$