En la fórmula, la rentabilidad de las acciones se modela como un movimiento browniano que es una deriva + un término estocástico, vale, lo entiendo. Pero el término de deriva se modela como r - volatilidad ^ 2 / 2. No estoy seguro de cómo derivan esta "volatilidad ^ 2 / 2". ¿Se deriva del lema de Ito?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta deriva proviene de hacer que la acción descontada sea una martingala en la medida neutral de riesgo $\mathbb Q$
Se empieza con una acción en $\mathbb P$ teniendo esta forma: $$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t $$ También tiene un factor de descuento $e^{rt}$ .
La idea es eliminar la deriva del proceso descontado en $\mathbb Q$ por lo que se obtiene (tras aplicar el teorema de Girsanov) una martingala:
$$ d\hat S_t = \sigma \hat S_t d \tilde W_t $$ donde $\hat S_t$ es la acción descontada y $\tilde W_t$ es un $\mathbb Q$ - el movimiento browniano.
Si se resuelve esta última EDE se obtiene
$$ \hat S_t = \hat S_0\exp(\sigma W_t - \frac{1}{2}\sigma^2t) $$ Multiplicar con $e^{rt}$ en ambos lados se obtiene el proceso no descontado y la deriva por la que preguntabas.
Pero la esencia de por qué se obtiene el término de corrección $\frac{1}{2}\sigma^2t$ es cuando se resuelve la SDE $$ dX_t = \sigma X_t dW_t $$ se obtiene $X_t = X_0 \exp(\sigma W_t - \frac{1}{2}\sigma^2t)$
