Fijación de precios PDE de las opciones de barrera en BS

Question

Las opciones dependientes de la trayectoria en el marco de la BS son intuitivas para valorar con monte-carlo bajo una medida neutral de riesgo, sin embargo parece que varios tipos pueden ser valorados con PDEs. Entiendo cómo va la historia para las opciones asiáticas: el pago depende de algo más que el precio del activo y el tiempo, así que introducimos una nueva variable, nuestro modelo resulta ser markoviano de nuevo, la integridad sigue estando en su lugar - por lo tanto, simplemente escriba una ecuación similar a la de Kolmogorov para el precio de la opción para la medida de riesgo neutral.

En el caso de las opciones de barrera, a menudo ni siquiera es necesario ampliar el espacio de estados: sólo hay que introducir las condiciones de contorno adicionales en las barreras. Sin embargo, en "Mathematics of Financial Derivatives" y "PWOQF2" de Wilmott, la derivación es bastante informal y poco precisa, algo así como "antes de llegar a la barrera el precio de la opción satisface la ecuación BS" . Sin embargo, no me queda muy claro por qué es así.

Otro libro que he consultado es "Martingale methods" de Musiela y Rutkowski - allí sólo calculan la expectativa del valor presente, teniendo indicadores para los eventos de barrera - utilizan la distribución conjunta de max/min del movimiento browniano con el propio movimiento browniano; allí todo es formal, pero no se expresa en el marco de PDEs.

Por lo tanto, me interesa:

1. Derivación formal de la EDP y de las condiciones de contorno para las opciones de barrera en el modelo BS. También he consultado el segundo volumen de Shreve, sección 7.3.2, pero, de nuevo, el argumento del lema 7.3.2 es un poco informal, por un lado, y, por otro, el resto de la prueba se realiza mediante métodos de martingala.

2. ¿Pueden aconsejar algún libro "clásico" de finanzas matemáticas que siga el enfoque de las EDP (en lugar del enfoque de martingala/expectativa) y que sea matemáticamente riguroso?

Answer 1

Este es un post antiguo, pero ya que de alguna manera me encontré con él, aquí está mi opinión. La razón por la que Wilmott tiene razón es porque todas las hipótesis realizadas para formular la EDP de fijación de precios para las vainillas (supongo que te sientes cómodo con eso), siguen siendo válidas en el caso de las opciones de barrera. Entonces, ¿por qué dudas de que se pueda utilizar la misma EDP? Así que sí, son sólo las condiciones de contorno las que difieren y sí, es de hecho obvio que la EDP se satisface con las opciones de barrera cuando se utilizan los mismos supuestos de BS.

En cuanto a que el probilitador insinúe que la resolución real de las EDP se suele dejar en manos de los matemáticos puros, ¡no estoy seguro de ello! Deberían ser los ingenieros, (o al menos los matemáticos aplicados) ya que son los que les gusta (y por tanto se especializan) en resolver cosas en la práctica, los matemáticos puros suelen preferir quedarse en su mundo abstracto:)

Answer 2

Algunas fuentes más concretas sobre la opción de la barrera en el entorno de B&S y PDEs

• Métodos PDE para la fijación de precios de las opciones de barrera (bastante técnico)
• Precios de las opciones de la barrera europea

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Más bien una observación general a los enfoques de la EDP en las finanzas

Ilya por lo que sé la literatura sobre ese tema es bastante limitada. Resolver una EDP significa resolver una EDP, no importa en qué contexto. La mayoría de los economistas dejan a los matemáticos puros la resolución de las EDP si surgen en un contexto de precios. Por eso, casi ningún libro de finanzas te enseña a resolver una de ellas de forma explícita; esto es algo que se aprende en matemáticas puras o en física o en delgadez.

Creo que te pueden interesar los "teoremas de interconexión" como Feynman-Kac que establecen el vínculo entre la fijación de precios y la PDE.

Además, que yo sepa, no existe un enfoque unificado basado en las EDP para la fijación de precios de los derivados.

Sin embargo, hay algunos libros que tienen secciones más extensas sobre la teoría de las EDP, por ejemplo Métodos PDE y Martingale en la valoración de opciones También puede encontrar el siguiente informe bastante completa. (Sin embargo, no se centra en la búsqueda de soluciones de forma cerrada, sino en esquemas numéricos)