Black-Scholes: Delta/probabilidad de ejercicio aumenta con la volatilidad

Question

El delta de una opción de compra ITM con volatilidad creciente disminuye inicialmente, alcanza un mínimo global y luego aumenta.

Si consideramos delta como una representación de la probabilidad de ejercicio neutral al riesgo, el primer segmento del gráfico - que disminuye con el aumento de la volatilidad - puede explicarse intuitivamente. Una volatilidad más baja ofrece menos oportunidades de que el activo subyacente se mueva de forma que la opción quede fuera de dinero.

¿Cuál es la intuición de que para una opción ITM, en algún momento la probabilidad de ejercicio aumenta con una volatilidad creciente? Tenga en cuenta que esta pregunta pide una explicación intuitiva en lugar de una ecuación derivada de BS que lo demuestre.

Answer 1

** Editado para mayor claridad

Es porque

• La acción está limitada por 0, por lo que la volatilidad está en el logaritmo de los rendimientos $log(\frac{ST}{S0})$
• La remuneración de la opción se basa en rendimientos no logarítmicos $\frac{ST}{S0}-1$ .

Inicialmente, cuando la vol es pequeña y aumenta, el límite no afecta al rango realista de los precios de las acciones. Cuando la vol se hace realmente grande, sus movimientos al alza, se hacen desproporcionadamente mayores frente a sus movimientos a la baja limitados por 0.

Esto se representa como un ajuste de convexidad positivo en black-scholes. Por lo tanto, la monetariedad se ve afectada de dos maneras diferentes debido a la vol para una opción de compra ITM.

1. Cuando aumenta la vol, ya no se está tan lejos de la huelga en base a la distribución. Así que el dinero disminuye con el siguiente término en BS cada vez más pequeño

$$\frac{log(\frac{S}{K})}{\sigma\sqrt{T-t}}$$

2. Sin embargo, el ajuste de la convexidad se hace más positivo, haciéndole más ITM, como se representa por el siguiente término en BS, que se hace más grande

$$\frac{\frac{1}{2}\sigma^2(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$$

Cuando el vol es grande, el impacto de 2. es relativamente mayor, ya que si se piensa en ello, para un vol suficientemente grande, se está básicamente muy cerca de ATM desde una perspectiva de distribución y esto no cambia mucho incluso si el vol aumenta. Sin embargo, el ajuste de la convexidad sigue aumentando.

Debería ver que el fenómeno que ha descrito no se aplica a las Puts ITM. Dado que tanto 1. como 2. sirven para reducir el valor monetario de las Puts