Equilibrio de Nash en subasta de 2 postores

Question

Estoy tratando de encontrar el Equilibrio de Nash de una subasta con dos postores en la que el mejor postor gana el objeto pero ambos postores pagan la puja perdedora. Aquí cada postor sigue la misma estrategia de puja que es un mapa estrictamente creciente y diferenciable de los valores a las ofertas.

No consigo encontrar el equilibrio de Nash del juego. ¿Puede alguien ayudarme? ¿Se trata de algún tipo de subasta estándar?

Answer 1

Suponiendo que la subasta tiene un equilibrio de estrategia pura, podemos plantear el problema de la siguiente manera:

Cada licitador tiene un valor $v_i\sim F$ sobre el apoyo $[\underline{v},\overline{v}]$ . El equilibrio simétrico, postulamos, es una función continua creciente $b(v)$ .

Ahora, imagina que el postor $i$ ofertas como si su valor eran $\widetilde{v}$ . Entonces gana si $v_j<\widetilde{v}$ y $i$ es por tanto

$$U_i=-[1-F(\widetilde{v})]b(\widetilde{v})+\int_0^{\widetilde{v}}\! \left(v_i-b(v_j)\right)F'(v_j)\,dv_j$$ .

El primer término es el resultado si $i$ pierde (entonces paga su propia oferta, que es $b(\widetilde{v})$ Sin $i$ está utilizando $\widetilde{v}$ ). El segundo término es la ganancia si gana (paga la puja de su rival, siempre que el valor de su rival sea inferior a $\widetilde{v}$ ).

Ahora calculamos el mejor $\widetilde{v}$ para $i$ a elegir mediante el cálculo de una condición de primer orden: $$\frac{\partial U_i}{\partial \widetilde{v}}=-[1-F(\widetilde{v})] b'(\widetilde{v})+v F'(\widetilde{v})=0.$$

Sabemos que, en equilibrio, debe ser óptimo para $i$ elegir $\widetilde{v}=v_i$ (es decir, debe ser la mejor respuesta para $i$ utilizar su estrategia prevista en lugar de desviarse hacia la estrategia de otro):

$$-[1-F(v)] b'(v)+v F'(v)=0.$$

Así, $$b(v)=b(\underline{v})+\int_{\underline{v}}^v\!\frac{xF'(x)}{1-F(x)}\,dx.$$

Podemos comprobar que $$b'(v)=\frac{vF'(v)}{1-F(v)}>0$$ según sea necesario. Todo lo que necesitamos es una condición de contorno para fijar $b(\underline{v})$ . Por ejemplo, podríamos pensar que es natural que $b(\underline{v})=0$ porque un $\underline{v}$ tipo sabe que nunca podrá ganar la subasta.