¿Cómo puedo hacer que esta cartera se autofinancie?

Question

$a_t S_t$ = número de acciones ( $S_t$ es el precio de las acciones en $t$ ), $S_0 = 1$

$b_t \beta _t$ = valor de la cuenta de ahorro , $d \beta_t = r \beta_t dt$ , $r=$ tipo de interés

Así que el valor de la cartera:

$$V_t = a_t S_t + b_t \beta_t$$

Se autofinancia si

$$dV_t = a_t dS_t + b_t d \beta_t$$

Si $a_t = 1-t$ ¿Cómo puedo elegir? $b_t$ de manera que mi cartera se autofinancie?

$$V_t = (1-t)S_t + b_t \beta_t$$

¿Cómo se formula $dV_t$ ¿Ahora? ¿No requiero más información, en particular, qué es $S_t$ ?

¿Es necesario utilizar la regla del producto estocástico?

Answer 1

Tenemos $$ V_t = a_t S_t + b_t \beta_t. $$

Por la regla del producto de Ito, \begin{align*} dV_t & = d(a_t S_t) + d(b_t \beta_t) \\ & = a_t dS_t + S_t da_t + da_t dS_t + b_t d\beta_t + \beta_t db_t + db_td\beta_t. \end{align*}

Desde $da_t$ y $db_t$ no tienen $dW_t$ los términos cruzados son ambos cero y tenemos \begin{align*} dV_t & = a_t dS_t + S_t da_t + b_t d\beta_t + \beta_t db_t. \end{align*}

Ahora sólo tienes que introducir el valor de $da_t$ y resolver una ecuación en la incógnita $b_t$ : \begin{align*} dV_t & = a_tdS_t - S_t dt + b_t d\beta_t + \beta_t db_t \triangleq a_t dS_t + b_t d\beta_t \\ & \iff \beta_t db_t = S_t dt \\ & \iff b_t = b_0 + \int_0^t S_u/\beta_u du. \end{align*}

Ahora puede ser capaz de resolver para $b_t$ explícitamente en función de su modelo de $S_t$ .

Answer 2

En el modelo Black-Scholes, se tendría $d S_t = \mu\, d t + \sigma\, d W_t$ donde $W$ es un movimiento browniano. Por lo tanto, si $V_t = a_t S_t + b_t \beta_t$ entonces $$ dV_t = a_t\, d S_t + S_t\, d a_t + da_t\,dS_t + b_t\,d\beta_t + \beta_t\,d b_t + db_t\, d\beta_t $$ por la regla del producto. En su caso, cuando $a_t = 1-t$ tendrás $$ dV_t = (1-t) \, dS_t - S_t\, dt + b_t\,d\beta_t + \beta_t\,db_t $$ desde $da$ y $d\beta$ no tienen $dW$ -término. Por lo tanto, tendrá que elegir $b$ tal que $\beta\,db_t = S_t\,dt$ para que la cartera se autofinancie.