¿Cómo pruebo que$\lim_{K\searrow0}\frac{P(K,T)}{K} = \mathbb P(S_T=0)$?

Question

Estoy tratando de demostrar que$$\lim_{K\searrow0}\frac{P(K,T)}{K} = \mathbb P(S_T=0)$ $ donde$P(K,T)$ denota el precio de la opción de venta con vencimiento$T$ y strike$K$ para algunas acciones$S$. Suponiendo tasas de interés$r=0$ escribimos$$\lim_{K\searrow0}\frac{P(K,T)}{K} = \lim_{K\to0}\frac{\int_0^K(K-S)f(S)dS}{K}$ $$$= \lim_{K\searrow0} \left(\int_0^Kf(S)dS - \frac1K\int_0^KSf(S)dS\right)$ $$$= \lim_{K\searrow0} \left(\mathbb P(S_T\le K) - \frac1K\mathbb E[S_T1_{S_T<K}]\right)$ $ donde$f(S)$ es la densidad de$S_T$.

Ahora$\lim_{K\searrow0} \mathbb P(S_T\le K) = \mathbb P (S_T=0)$, pero no estoy seguro de si es "obvio" que$\frac1K\mathbb E[S_T1_{S_T<K}]$ tiende a cero como$K$ tiende a cero.

Answer 1

$$\lim_{K\searrow0}\frac{P(K,T)}{K} = \lim_{K\to0}\frac{\int_0^K(K-S)f(S)dS}{K}$ $$$= \lim_{K\searrow 0} \left(\int_0^Kf(S)dS - \frac1K\int_0^KSf(S)dS\right)$ $$$= \lim_{K\searrow 0} \big(\mathbb P(S_T\le K)\big) - Sf(S)\big\vert_{S=K=0}$ $$$= \mathbb P(S_T=0),$ $ donde$f(S)$ es la densidad de$S_T$.