Teorema de Girsanov y tasas de impago en la calificación de los bonos

Question

Tasas de morosidad son una especie de probabilidades, ¿verdad?

¿Es posible utilizar el teorema de Girsanov en ese contexto? Por ejemplo, si tenemos una tabla de probabilidades del mundo real, ¿podríamos utilizar el teorema de Girsanov para convertir esas probabilidades del mundo real en probabilidades neutrales al riesgo? Tal vez incluso adelante ¿probabilidades?

Answer 1

Supongamos que te doy probabilidades objetivas $\mathbb{P}(S_T \geq K)$ de un acabado de la equidad por encima de un cierto nivel $K$ en un momento futuro $T$ (o en su caso una probabilidad de supervivencia en forma de tasas de impago). ¿Puede convertirlas en probabilidades neutrales al riesgo? $\mathbb{Q}(S_T \geq K)$ ? No inmediatamente.

En primer lugar, tengo que darte un modelo de comportamiento de $S_T$ o, lo que es lo mismo, especificar la dinámica del proceso $(S_t)_{t\in[0,T]}$ bajo el espacio de probabilidad filtrado $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t\in[0,T]}, \mathbb{P})$ .

Entonces, simplemente notando que $$ \mathbb{Q}(S_T \geq K) = \mathbb{E}^\mathbb{Q} [\mathbb{1}(S_T \geq K)] = \mathbb{E}^\mathbb{P} \left[\mathbb{1}(S_T \geq K) Z_T \right] $$ con $$ Z_T = \left. \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} \right\vert_{\mathcal{F}_T} $$ la derivada de Radon-Nikodym del cambio de medida debería servir (con una trazabilidad que depende de sus supuestos de modelización, por supuesto). Obviamente, apelarás a Girsanov para traducir la dinámica que te he proporcionado bajo $\mathbb{P}$ bajo la medida equivalente $\mathbb{Q}$ .

Así que para responder a su pregunta: "No, no es posible", al menos no sin establecer un marco de modelización adecuado. Además, la conversión será uno a uno si y sólo si se asume un modelo de mercado completo + sin arbitraje (véanse los teoremas fundamentales de la fijación de precios de los activos).

También hay que tener en cuenta que normalmente en los mercados se hace lo contrario. Implicamos las probabilidades de los instrumentos cotizados y éstas se obtienen, por tanto, bajo $\mathbb{Q}$ . La pregunta es entonces, ¿podemos traducirlos bajo $\mathbb{P}$ . El razonamiento es el simétrico exacto del anterior.