Tasa corta de Black Derman Toy y PDE

Question

Estoy mirando el modelo de tarifa corta local de Black Derman Toy como $$d\log r(t)=\alpha(t)(\theta (t)-\log r(t))dt+\sigma dW(t)$$ bajo la medida RN. Me gustaría derivar la EDP del precio del bono. Para ello considero $f(t,r(t))$ para ser el precio de un bono y por Feynman Kac quiero escribir $d[D(t)f(t)]$ y como esto tiene que ser una martingala( $D(t)$ es un factor de descuento), puedo establecer $dt$ a cero. Aquí es donde estoy atascado. No sé qué $dr(t)$ ¡es!

Empiezo por $$d(D(t)f(t))=fdD+Ddf+dfdD$$ donde $dD=-rDdt$ y $df=f_tdt+f_rdr+0.5f_{rr}drdr$ y necesito $dr$ ¿Puedo obtener esto de la $d\log r(t)$ ¿de alguna manera?

Answer 1

Tenga en cuenta que $r(t)=e^{\ln r(t)}$ . Entonces \begin {align*} dr(t) &= e^{ \ln r(t)} d \ln r(t) + \frac {1}{2}e^{ \ln r(t)} \langle d \ln r(t), d \ln r(t) \rangle\\ &=r(t) \big [ \alpha (t)( \theta (t)- \log r(t))dt+ \sigma dW(t) \big ] + \frac {1}{2} \sigma ^2 r(t) dt \\ &=r(t) \Big [ \Big ( \frac {1}{2} \sigma ^2 + \alpha (t)( \theta (t)- \log r(t)) \Big )dt + \sigma dW(t) \Big ]. \end {align*}