¿Cómo estimar los parámetros del movimiento browniano geométrico con media variable en el tiempo?

Question

¿Alguien sabe cómo estimar $A$, $\sigma_1$,$\sigma_2$ a partir del siguiente sistema?

$$dx = \mu_t x dt + \sigma_1 x dB_x$$

$$d\mu = A(\bar\mu - \mu) dt + \sigma_2 dB_\mu$$

¿La variación en $x$ podría atribuirse a la variación en $\mu$, o a la variación en $dB_x$, ¿verdad?

Supongamos que conozco $\bar \mu$, pero necesito estimar todos los demás parámetros.

Answer 1

Yo diría

1. Tomar el logaritmo de la primera ecuación para eliminar la dependencia de $x_t$
2. Aplicar las ecuaciones del filtro de Kalman para estimar parámetros

Creo que Conrad y Kaul (1988) J of Business hacen exactamente lo que describes.

Answer 2

Depende del uso de tu modelo como se señaló en los comentarios. Si una versión discretizada es suficiente, entonces los modelos de espacio de estado podrían ser una solución.

Puedes consultar el libro de texto gratuito en línea de Athana­sopou­los y Hyndman. Los modelos de espacio de estado describen las series temporales en términos de nivel/tendencia (y estacionalidad) de manera aditiva o multiplicativa. Hay procedimientos y paquetes muy útiles para estimar y pronosticar dichos modelos.

Answer 3

Gracias chicos. Siento la tardanza en responder, simplemente lo resolví en Matlab utilizando la estimación de máxima verosimilitud. Resulta que todo lo que tenemos que hacer es especificar un modelo de espacio de estados, luego estimar el coeficiente usando MLE. La linealidad y la normalidad aquí hacen las cosas bastante simples.