¿Necesitamos la condición de Feller si el proceso de volatilidad salta?

Question

Es bastante conocido que en los procesos afines, como Modelo Heston $$\begin{equation} \begin{aligned} dS_t &= \mu S_t dt + \sqrt{v_t} S_t dW^{S}_{t} \\ dv_t &= k(\theta - v_t) dt + \xi \sqrt{v_t} dW^{v}_{t} \end{aligned} \end{equation}$$ el SV $v_t$ es un proceso estrictamente positivo si la deriva es lo suficientemente fuerte, es decir, si los parámetros de deriva ( $k$ la velocidad de reversión de la media, y $\theta$ nivel de reversión de la media) y el Vol-of-Vol $\xi$ satisfechos: $$\begin{equation} k \theta > \frac{1}{2} \xi^2 \end{equation}$$ que se conoce como Estado de los hongos . Sé que esta condición puede generalizarse a los procesos afines multifactoriales. Por ejemplo, si la volatilidad de los rendimientos $\log S_t$ se compone de varios factores independientes $v_{1,t},v_{2,t},...,v_{n,t}$ entonces la condición de Feller se aplica a cada factor por separado ( compruébelo aquí en la página 705, por ejemplo). Además, Duffie y Kan (1996) proporcionan una extensión multidimensional de la condición de Feller.

Pero sigo sin entender si todavía necesitamos la (o una especie de) condición de Feller en caso de salto-difusión . Se puede considerar, por ejemplo, el caso simple de un factor de volatilidad con saltos distribuidos exponencialmente: $$\begin{equation} dv_t = k(\theta - v_t) dt + \xi \sqrt{v_t} dW^{v}_{t} + dJ^{v}_{t} \end{equation}$$ donde $J^{v}_{t}$ es un proceso de Poisson compuesto, independiente del Wiener $W^{v}_{t}$ . La intensidad de llegada de Poisson es una constante $\lambda$ con la media $\gamma$ . Observo que en este caso, el nivel de reversión media a largo plazo está ajustado por saltos: $$\begin{equation} \theta \Longrightarrow \theta ^{*}=\theta + \frac{\lambda}{k} \gamma \end{equation}$$ por lo que sospecho que si se aplica una especie de condición Feller debe depender de los saltos.

Sin embargo, desde una perspectiva puramente intuitiva, aunque la barrera en $v_t = 0$ es absorbente, el salto volvería a ser de 0.

Gracias por su tiempo y atención.

Answer 1

La condición de Feller se aplica sin modificaciones.

Esto es bajo el supuesto de que $v$ es un proceso de root cuadrada con saltos de llegada de poisson (como has escrito), y suponiendo que la distribución de los saltos es estrictamente positiva y el nivel inicial $v_0>0$ .

La razón es que, condicionado a que no se produzcan saltos, el proceso es sólo un proceso de root cuadrada, para el que las referencias que citas muestran que $v$ es estrictamente positivo si $\kappa\theta>\frac{1}{2}\xi^2$ . Pero cuando llega un salto, $v$ cambia de nivel y se reanuda siguiendo el mismo proceso. Si se satisface la condición de Feller, nunca puede difundirse a 0; si la distribución de saltos es positiva nunca puede saltar a 0. Para saltos de tasa de llegada finita eso lo cubre: no puede llegar a 0. Si no se satisface la condición de Feller, dado que la difusión es independiente del salto y la probabilidad de no salto es positiva, incluso condicionado a que no haya saltos el proceso puede llegar a 0. Así que de nuevo la condición es si-y-solo-si.