Demuestre que un equilibrio en estrategias estrictamente dominantes es un único equilibrio de Nash

Question

Soy nuevo en la teoría de juegos y me encontré con esta línea, " Un perfil de estrategia (s1, . . . , sn) en el que cada si es dominante para el agente i (estrictamente, débilmente o muy débilmente) es un equilibrio de Nash".

Pero, ¿por qué? ¿Y cómo se formaría un equilibrio en estrategias estrictamente dominantes? ¿Acaso las dos producen la misma mejor ganancia?

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Será útil detallar las definiciones pertinentes.

Dejemos que $A_i$ sea el conjunto de acciones posibles para el jugador $i$ , $A_{-i}$ sea el conjunto de posibles acciones conjuntas de todos los jugadores excepto el jugador $i$ , $A$ sea el conjunto de posibles acciones conjuntas de todos los jugadores. Para $a=(a_i,a_{-i})\in A$ , dejemos que $u_i(a)$ denotan la retribución del jugador $i$ de la acción $a_i$ Dado que los otros jugadores juegan $a_{-i}$ .

Definición 1: Una acción $a_i\in A_i$ es débilmente dominante para el jugador $i$ si para cada $a_{-i}\in A_{-i}$ , $u_i(a_i,a_{-i})\ge u_i(\overline{a_i},a_{-i})$ por cada $\overline{a_i}\in A_i$ es decir, no importa lo que hagan los otros jugadores, la acción $a_i$ produce una recompensa al menos tan alta como cualquier otra acción disponible para el jugador $i$ . [Dominio estricto dado por $>$ en lugar de $\ge$ .]

Definición 2: Una acción $a_i\in A_i$ es la mejor respuesta a la acción $a_{-i}\in A_{-i}$ si $u_i(a_i,a_{-i})\ge u_i(\overline{a_i},a_{-i})$ por cada $\overline{a_i}\in A_i$ es decir, si fijo las acciones de los otros jugadores en alguna acción conjunta concreta, entonces $a_i$ produce una recompensa para el jugador $i$ al menos tan alto como cualquier otra acción disponible para el jugador $i$ .

Afirmación 1: Si una acción $a_i\in A_i$ es estricta o débilmente dominante, entonces es la mejor respuesta para cualquier acción conjunta $a_{-i}\in A_{-i}$ . [Esto se deduce inmediatamente de las definiciones 1 y 2.]

Definición 3: Una acción conjunta $a\in A$ es un equilibrio de Nash si para cada jugador $i$ , acción $a_i$ es la mejor respuesta a $a_{-i}$ .

Afirmación 2 (su pregunta): Un perfil de estrategia (es decir, una acción conjunta) $s=(s_1,...,s_n)\in A$ en el que cada $s_i$ es una estrategia (estricta o débilmente) dominante es un equilibrio de Nash.

Obsérvese que la reivindicación 2 es una consecuencia de la reivindicación 1.