Soy nuevo aquí. Me preguntaba qué es la conocida aproximación de vol implícita ATMF mencionada en la página 2 en Bergomi Smile Dynamics IV : $$S_T = \frac{s_T}{6\sqrt{T}}.$$
No encuentro ninguna referencia al respecto.
Respuesta
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Dejemos que $$\ln\left(S_T/S_t\right) $$
tienen medios $\mu_\tau$ y la desviación estándar $\sigma_\tau$ , donde $\tau=T-t$ y la densidad de su forma estandarizada $$ X= \frac{\ln(S_T/S_t)-\mu_\tau}{\sigma_\tau} $$
aproximado por la expansión de Gram-Charlier
$$ f_X(x) = \phi(x) - \gamma_{1\tau} \frac{1}{3!} D^3 \phi(x) + \gamma_{2\tau} \frac{1}{4!} D^4 \phi(x), $$
con $\phi$ siendo la densidad normal estándar y $\gamma_{1\tau}$ y $\gamma_{2\tau}$ siendo la tercera (asimetría) y la cuarta (curtosis) cumulantes.
Se puede entonces fijar el precio de una opción de compra con strike $K$ contra la densidad $f_X$ y luego implicar, mediante la fórmula de Black-Scholes, la desviación típica:
$$ \hat{\sigma}_{K\tau} = \sigma_\tau\left[1- \gamma_{1\tau} \frac{1}{3!} d_{K\tau} - \gamma_{2\tau} \frac{1}{4!} (1- d_{K\tau}^2) \right] $$
con
$$ d_{K\tau} = \frac{\ln(S_t/K)-r\tau +0.5\sigma_\tau^2}{\sigma_\tau}. $$
Pruebas detalladas aquí .
Esto a su vez da:
$$ \frac{\partial \hat{\sigma}_{K\tau}}{\partial \ln K}\bigg|_{K=S_t\mathrm{e}^{rt}} = \gamma_{1\tau} \frac{1}{3!}. $$
