Mi pregunta es sobre 6.C.4. de Mas-Colell et.al.'s Teoría Microeconómica libro.
Tenemos N de los activos de riesgo con los retornos $z_n, n = (1,...,N)$ por cada dólar invertido, que se distribuyen a través de $F(z_1,...,z_n).$ Todas las devoluciones son no-negativos con probabilidad uno. Para una persona con una continua, creciente y cóncava de la función de utilidad de Bernoulli $u(\cdot)$ sobre $\mathbb{R_+}$, podemos definir la función de utilidad de $U(\cdot)$ sobre $\mathbb{R}_+^N$, el conjunto de no negativo de las carteras como:
$$U(\alpha_1,...,\alpha_N) = \int u(\alpha_1 z_1 + \cdots + \alpha_N z_N)dF(z_1,...,z_N)$$
Se nos pide a mostrar para la parte c $U(\cdot)$ es continua.
El libro de la solución es un poco difícil (en particular, ya que realmente no he trabajado con la teoría de la medida antes), pero la maestra me ha dicho que hay una forma más sencilla y directa de hacer la pregunta. Tengo preguntas acerca de estos dos puntos.
En primer lugar, mirando el libro del argumento.
Creamos una secuencia $(\alpha^m)_{m \in N} \to \alpha \in \mathbb{R}_+^N$. Entonces si $U$ es continua, se debe obtener $$(\alpha^m)_{m \in \mathbb{N}} \to \alpha \implies U(\alpha^m)_{m \in \mathbb{N}} \to U(\alpha)$$
$\exists \ \delta > 0$ s.t. $\alpha^m \leq (\delta,...,\delta) \ \forall \ m$
Desde $U(\delta,...,\delta)$ es finito, $z \to u(\sum_n \delta z_n)$ es integrable.
Desde $u(\cdot)$ monotono y los rendimientos son no negativos con prob. cero:
$$u(\sum_n \alpha_n^m z_n) \leq u(\sum_n \delta z_n) \ \forall \ m, (z_1,...,z_N)$$
Desde $u(\cdot)$ continuo,
$$u(\sum_n \alpha_n^m z_n) \to u(\sum_n \alpha_n z_n)$$ for almost all $(z_1,...,z_N)$
Aquí el libro decide aplicar Lebesgue del teorema de convergencia dominada. Estamos, en cierta medida, el espacio de $(S, \Sigma, \mu)$, lo que indica que, para algunos secuencia de funciones ${f_n}$, si pointwise converge a una función $f$ y
$$\mid f_n(x) \mid \leq g(x) \ \forall n \quad \text{in index}, \ \forall x \in S$$
(recordemos que hemos construido $g(x)$ anterior)
A continuación, $F$ es integrable y
$$\lim_{n \to \infty} \int_S \mid f_n - f \ \mid d \mu = 0$$
$$\implies \int_S \mid f_n - f \ \mid d \mu \to f d \mu$$
Así
$$\int u(\sum_n \alpha_n^m x_n) dF(x_1,...,x_N) \to \int u(\sum_n \alpha_n x_n) dF(x_1,...,x_N)$$
$$\implies U(\alpha^m)_{m \in \mathbb{N}} \to U(\alpha)$$
He añadido directamente en la definición de Lebesgue de la convergencia dominada por mi propia claridad, y creo entender la prueba, pero mi pregunta para esta parte es ¿cuál es la medida del espacio? Sé $S = \mathbb{R}_+^N$, e $\mu = F$, pero ¿qué es $\Sigma$ supone? Creo que se supone que debe ser un $\sigma$ - álgebra, pero no tengo idea de cómo construir/encontrar aquí. También es muy posible que estoy totalmente equivocado en lo que el espacio en el que estoy trabajando, así que hay que.
Así que traté de instalación de una prueba para esta pregunta por mi cuenta. Yo también establecer una secuencia.
$(\alpha^m)_{m \in N} \to \alpha \in \mathbb{R}_+^N$. Entonces supongo que hay algún tipo de discontinuidad de salto en $U$ y demostrar que conduce a una contradicción.
Por lo $(\alpha^m)_{m \in \mathbb{N}} \to \alpha$ e $U(\alpha^m)_{n \in \mathbb{N}} \not \to U(\alpha)$
Mis intentos de tan lejos para encontrar una prueba satisfactoria han sido infructuosos. Cualquier ayuda se agradece, ya que es la prueba en sí o sólo un contorno o algunos consejos sobre qué información de uso a partir de la pregunta original para su uso.
