Sé que si el capital está por debajo del nivel de la regla de oro en el modelo de Solow, entonces somos dinámicamente eficientes, y viceversa.
¿Cómo se demuestra eso?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
mrigasira
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Doy primero la explicación intuitiva en palabras y luego abajo está la demostración.
Define una mejora de Pareto como aquella en la que el consumo no es menor en ningún periodo y es mayor en al menos un periodo. Somos dinámicamente eficientes si no hay mejora de Pareto posible y dinámicamente ineficientes si hay mejora de Pareto posible.
Supongamos que ya estamos en estado estacionario.
Proposición 1. Si la tasa de ahorro está por debajo del nivel de la regla de oro (o equivalentemente, el stock de capital en estado estacionario está por debajo del nivel de la regla de oro), entonces somos dinámicamente eficientes.
Prueba. Si cambiamos a una tasa de ahorro más baja, el nivel de consumo en estado estacionario será más bajo, por lo que esto no puede ser una mejora de Pareto.
Por el contrario, si cambiamos a una tasa de ahorro más alta, entonces el consumo en el período inicial del cambio será más bajo, por lo que nuevamente esto no puede ser una mejora de Pareto.∎
Proposición 2. Si la tasa de ahorro está por encima del nivel de la regla de oro (o equivalentemente, el stock de capital en estado estacionario está por encima del nivel de la regla de oro), entonces somos dinámicamente ineficientes.
Prueba. Afirmamos que cambiar a la tasa de ahorro de la regla de oro es una mejora de Pareto.
Primero, nota que al cambiar, el nuevo nivel de consumo en estado estacionario será más alto.
Luego, nota que en el período inicial (después de que hemos cambiado), el consumo es mayor que antes, porque hemos reducido nuestra tasa de ahorro.
De hecho, en el período inicial, el consumo será mayor que el nuevo estado estacionario. Luego, el consumo disminuirá monótonamente hacia el nuevo nivel de estado estacionario (que es más alto que el anterior estado estacionario).
En resumen, al cambiar a esta tasa de ahorro más baja, el consumo en cada período es mayor que el nivel de estado estacionario anterior (o dicho de otra manera, de lo que habría sido si no hubiéramos hecho el cambio). Por lo tanto, esto es una mejora de Pareto.∎
