Resumen : en resumen, la pregunta es para qué tipo de funciones $f(.)$ el teorema de Cameron-Martin-Girsanov puede utilizarse como sigue:
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}^2}[f(W_t)]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^1}\left[\frac{d\mathbb{P}^2}{d\mathbb{P}^1}f(W_t)\right] $$
Una larga historia El resultado es el siguiente: el Radon-Nikodym cuando se pasa de la medida de riesgo neutro a la medida de Stock es:
$$\frac{dN^{S}}{dN^{Q}}=\frac{N^{Q}_{t_0}}{N^{Q}_{t}} \frac{N^{S}_{t}}{N^{S}_{t_0}}=\frac{1}{e^{rt}}\frac{S_t}{S_{t_0}}=e^{-0.5\sigma^2t+\sigma W_t}$$
El siguiente tipo de calc se ve a menudo en las finanzas:
$$\mathbb{E}^{N^S}\left[S_t \right]=\mathbb{E}^{N^Q}\left[S_t^Q \frac{dN^{S}}{dN^{Q}} \right]=\\=\mathbb{E}[S_t^Q*e^{-0.5\sigma^2t+\sigma W_t}]=\\=S_0e^{rt-0.5\sigma^2t+\sigma W_t}*e^{-0.5\sigma^2t+\sigma W_t}=\\=S_0e^{rt+\sigma^2t}$$
El teorema CMG nos dice que la derivada de Radon-Nikodym $e^{-0.5\sigma^2t+\sigma W_t}$ puede aplicarse a $W_t$ directamente para modificar su deriva y crear alguna nueva medida bajo la cual $W_t$ dejará de ser un movimiento browniano estándar. Si nos alejamos de las finanzas y denotamos la medida bajo la cual $W_t$ es browniana estándar como $\mathbb{P}^1$ la nueva medida con la que $W_t$ es una browniana con una deriva como $\mathbb{P}^2$ y el radón-nikodimio como $\frac{d\mathbb{P}^2}{d\mathbb{P}^1}$ podemos escribir:
$$\mathbb{P}^2(W_t<a):=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^1}\left[\frac{d\mathbb{P}^2}{d\mathbb{P}^1} * I_{\{W_t<a\}} \right] =\mathbb{E}^{\mathbb{P}^1}\left[e^{-0.5\sigma^2t+\sigma W_t} * I_{\{W_t<a\}} \right] $$
Lo anterior es básicamente la definición de $\mathbb{P^2}$ mediante la definición implícita de la derivada de Radon-Nikodym. Una extensión de la definición anterior es que:
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}^2}[W_t]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^1}\left[\frac{d\mathbb{P}^2}{d\mathbb{P}^1}W_t\right] $$
Pregunta en nuestro caso de finanzas de las acciones, el proceso del precio de las acciones es en realidad una función de $W_t$ Así que podríamos escribir $S_t=f(W_t)$ . En la ecuación $\mathbb{E}^{N^S}\left[S_t \right]=\mathbb{E}^{N^Q}\left[S_t^Q \frac{dN^{S}}{dN^{Q}} \right]$ , en realidad estamos utilizando el hecho de que:
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}^2}[f(W_t)]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^1}\left[\frac{d\mathbb{P}^2}{d\mathbb{P}^1}f(W_t)\right] $$
¿Existe una manera fácil de demostrar que podemos hacerlo? Obviamente, sí funciona, como se muestra en el caso del proceso de la comilla de las acciones, porque produce el resultado correcto. Pero para lo que $f(.)$ ¿se mantiene el resultado? Estoy seguro de que debe haber algunas restricciones en los tipos de funciones $f(.)$ para los que el resultado es verdadero.
