igualdad en la distribución

Question

Me encuentro con el siguiente problema :

Tengo la igualdad en la distribución:

para todos $\lambda >0, ((1/\lambda)*\int_{0}^{\lambda t}\sigma_{u}^{2}du,t\geq0)=(\int_{0}^{t}\sigma_{u}^{2}du,t\geq0)$

donde $(\sigma_{t})$ es un proceso predecible.

Ahora no entiendo que cuando $\lambda->0$ y cuando utilizamos la continuidad de $(|\sigma_{u}|,u\geq0)$ a 0 entonces obtenemos: $(\int_{0}^{t}\sigma_{u}^{2}du,t\geq0)=(c^{2}t,t\geq0)$ (en distribución)

Intento reconocer un derivado pero no lo consigo.... Gracias

Answer 1

Parece que sólo tenemos que observar lo siguiente: \begin{align*} \lim_{\lambda\rightarrow 0}\frac{1}{\lambda}\int_0^{\lambda t}\sigma^2_u du &= \lim_{\lambda\rightarrow 0}\int_0^{ t}\sigma^2_{\lambda u} du\\ &= \int_0^{ t}\sigma^2_{0} du \\ &=\sigma^2_{0} t. \end{align*}