Cómo tomar una muestra de una cópula en el laboratorio de matemáticas

Question

Tengo dos variables aleatorias (digamos, X e Y). Cada una de estas variables está definida por sus CDF (CDF_X y CDF_Y). Estas CDF se obtuvieron empíricamente, por lo que son un gráfico de "escalera". También tengo una cópula C que representa la relación entre X e Y. Esta cópula se obtuvo a través de un estimador de núcleo.

Quiero tomar una muestra (digamos 10 puntos (X,Y)) de la distribución bivariada de X e Y (es decir, respetando la relación de dependencia impuesta por C).

¿Cómo puedo hacer esa implementación en Matlab o en R? Prefiero Matlab.

Answer 1

Suponga que tiene la cópula $C(u_1,u_2)$ entonces se podría calcular la cópula condicional

$$c_{u_1}(u_2)=\frac{\partial C(u_1,u_2)}{\partial u_1} \; .$$

Ahora, puedes generar un par de valores aleatorios independientes uniformemente distribuidos $(U,V)$ . Digamos que un realismo particular es $(u,v)$ . Entonces la pareja

$$(u,c_u^{-1}(v))$$

se distribuirá según la cópula. Sólo hay que aplicar la FCD inversa para que se distribuyan como $(X,Y)$ . Diga $X\sim F_X$ y $Y\sim F_Y$ entonces

$$(F_X^{-1}(u),F_Y^{-1}(c_u^{-1}(v)))$$

es lo que hay que hacer al final.

Un ejemplo en Matlab para una cópula de Clayton

%% Simulations of Clayton copulas using conditional cdf

%Example for theta=4
n=3000;
theta=5;
u=rand(1,n);
y=rand(1,n);
v=((y.^(1/(1+theta)).*u).^(-theta)+1-u.^(-theta)).^(-1/theta);

x1=norminv(u);
x2=norminv(v);

plot(x1,x2,'.')