Opción binaria implícita volaltility

Question

Cómo es implícita vol calcula si los precios cotizados están fuera de la gama de posibles volatilidad? E. g. Cotización actual en el CBOE para las opciones con vencimiento en Agosto 16, 2014

Calls   Last Sale   Net     Bid     Ask     Vol     Open Int    
BSZ1416H1900-E  0.0     0.0     0.66    0.81    0   0   14 Aug 1900.00      BSZ1416T1900-E  0.0     0.0     0.20    0.32    0   0
BSZ1416H1950-E  0.0     0.0     *0.45   0.60*   0   0   14 Aug 1950.00       BSZ1416T1950-E     0.0     0.0     0.40    0.55    0   0
BSZ1416H2000-E  0.0     0.0     0.20    0.32    0   0   14 Aug 2000.00      BSZ1416T2000-E  0.0     0.0     0.67    0.82    0   0

Para BSZ1416H1950-E, tanto la oferta y demanda están fuera del rango. (no se puede cargar la imagen que he creado, se demostró que el valor máximo alcanzable es .4 alrededor del 50% de la volatilidad.

Normalmente la oferta y la demanda, la liquidez está todo resuelto en IV. ¿Cómo encontrar IV? ¿Cuál es el mecanismo para manejar este tipo de cosas para la construcción vol superficie? Cómo son esas diferencias utilizado, en un control de la variable aleatoria igual manera, tal vez, para estimar el precio en algún momento en el futuro? Gracias.

Answer 1

Está usted seguro de que son la correcta utilización de la fórmula de fijación de precios.

Para un binario (digital) de la llamada que paga $1$, el simple Black-Scholes precio al tiempo $t=0$ es

$$ C_d = e^{-rT}N(d_2)$$ $$d_2 = \frac{\text{ln}(F/K) - \frac1{2}\sigma^2T}{\sigma \sqrt{T}}$$ donde $N$ es la función de distribución normal estándar, $F=Se^{(r-q)T}$ es el avance del índice de precios, $S$ es el punto índice de precio, $K$ es el precio de ejercicio, $T$ es el tiempo de vencimiento y $\sigma$ es la volatilidad implícita.

Aquí están algunos de los valores actuales

$$S = 1942, r = 0.25\%, q = 1.97\%.$$

Para el 14 de Agosto de 1950 llamada

$$K = 1950, T = 64 \ \text{days}=0.1752 \ \text{years} ,$$

y la suposición de que la volatilidad implícita de las $\sigma = 12\%$, el binario de llamada precio es $0.43$.

Así que los presupuestos que se están mostrando buscar razonable en virtud de la actual volatilidad implícita de las condiciones.

En cuanto a tu pregunta de carácter general sobre la búsqueda de la volatilidad implícita, hay dos cuestiones. (1) Cómo construir un no-arbitraje modelo de fijación de precios que hará que coincida correctamente con los precios de mercado de la vainilla llamadas y pone, y (2) cómo el precio más opciones exóticas (tales como opciones binarias) en el nuevo marco.

En general, los precios de mercado observados de SPX index opciones no son consistentes con la simple Black-Scholes supuestos -- subyacente a la que sigue el movimiento Browniano geométrico con la constante volatilidad. Los precios reales que parecen expecations en virtud de una distribución de probabilidad que no es logarítmico-normal-tal vez más desigual. La volatilidad implícita-que valor lo que hace que la fórmula Black-Scholes coincidir con el precio de mercado -- varía con precio de ejercicio y el tiempo de su vencimiento. En teoría, si sabíamos que el precio de mercado de una opción call $C(S,t;K,T)$ para cada posible precio de ejercicio $K$ cuando el índice de precios es $S$ a tiempo $t$, luego de un determinado tiempo a vencimiento $T$ podríamos encontrar implícita la función de densidad de probabilidad como

$$f(S) = e^{r(T-t)}\frac{\partial^2}{\partial K^2}C(S,t;K,T).$$

En la práctica, no hay suficiente mercado de las observaciones de precios para el uso de esta fórmula directamente en una manera significativa, pero sugiere que hay más amplia de modelos estocásticos (con más grados de libertad) que puede ser utilizada para generar la no-arbitraje opción de precios que coinciden con los precios de mercado. Uno de los más populares de los enfoques es el local de la volatilidad del modelo que asume que el índice subyacente de precios sigue un proceso estocástico de la forma

$$dS_t=\mu S_t dt + \sigma(S_t)S_tdW_t$$

donde $W_t$ es un movimiento Browniano y la volatilidad de los $\sigma(\cdot)$ no es una constante, sino una función determinista de que el precio del subyacente. Existe una extensa literatura en el local de la volatilidad del modelo que indica cómo calibrar la función de $\sigma(\cdot)$ a coincidir con los precios de mercado.

Para una opción binaria, no está del todo claro qué precios simples appoach debe ser utilizado cuando vainilla llamadas y pone presentan una volatilidad implícita de sesgo. Una posibilidad es encontrar el precio en términos de una réplica de la cartera de opciones de vainilla. Si una opción binaria paga $1$ cuando el índice es superior a un precio de ejercicio de $K$, entonces puede ser replicado, en teoría,aproximadamente mediante una llamada propagación. Nos gustaría comprar un número de $1/\delta$ de ordinario llamadas con precio de ejercicio $K$ y vender el mismo número de llamadas con precio de ejercicio $K+\delta.$ De esta manera

$$C_d(S,t;K,T) \approx \frac1{\delta} \big[C(S,t;K,T)-C(S,t;K+\delta , T)\big]$$

Idealmente, nos gustaría hacer $\delta$ tan pequeño como sea posible, pero hay limitaciones prácticas en términos de disponibilidad de las huelgas y la eventual influencia que sería aplicado. Sin embargo, este modelo de replicación sugiere la forma de la opción binaria puede ser un precio en la presencia de un skew de volatilidad. Tomando el límite cuando $\delta \rightarrow 0$ tenemos

$$C_d(S,t;K,T) \approx \frac{\partial}{\partial K} C(S,t;K,T),$$

y esta relación indica cómo extraer el precio de la opción binaria que es consistente con los precios de las opciones de vainilla en un marco (por ejemplo. local volatilidad), donde la volatilidad implícita depende de la huelga.

Answer 2

El sesgo juega un papel importante para la fijación de precios de los binarios. En S&P el VIX aumenta disminuye y disminuye en las subidas. Nos puede explicar una parte de la prima por asumir el Negro-Schole Llamar a la opción de captura de la subyacente volatilidad. Deje que nos represente opción de compra como $C(K,\sigma)$ y binarios $V_{Binary}(K,\sigma)$, Entonces podemos escribir $$ V_{Binary}(K,\sigma) = -\frac {\partial C}{\partial K}(K,\sigma)$$ Aplicar la regla de la cadena, $$= -\left[\frac{\partial C(K,\sigma)}{\partial K} \frac{\partial K}{\partial K} + \frac{\partial C(K,\sigma)}{\partial \sigma} \frac{\partial \sigma}{\partial K}\right] $$ El plazo $-\frac{\partial C(K,\sigma)}{\partial K} \texttt{ is quoted} \space V_{Binary} $ e $ \frac{\partial C(K,\sigma)}{\partial \sigma}$ es de vainilla opción de la llamada vega y $\frac{\partial \sigma}{\partial K} $ es la inclinación de la vainilla opción de llamada. Por lo tanto, $$ $V_{Binario}(K,\sigma) = V_{Binario}(S,t) - C_{Vega}(S,t) * C_{Sesgar}(K,\sigma) $$ $$ =e^{-rT} N(d_2) - S \sqrt {T} N'(d_1) * Skew $$ Sesgo puede ser estimada a partir de la SPX opciones cerca de la huelga K. La ecuación anterior tiene todos los valores que están fácilmente disponibles. Por supuesto, en la parte superior de que no es la prima de la oferta y la demanda de liquidez, etc.

Como nota, el SPX los contratos son muy líquido, pero la liquidez en los Binarios es otro add on. Los binarios están incrustados en muchos productos estructurados y hay muchas forma de hacer uso de ellos para la creación de nuevos productos o la gestión de riesgos. BSZ tal vez están siendo utilizados como lotto juego. Esperemos que más jugadores reconozcan su importancia y el aumento de la demanda.