Veo que la justificación de la necesidad de usar líneas B cúbicas cuando se interpola en el espacio de strike-IV es imponer una restricción de convexidad para deshacerse del posible arbitraje.
Podría entender fácilmente este argumento si el encaje estuviera en el espacio del precio de venta. ¿Pero hay alguna prueba formal de que una restricción de convexidad en el espacio de strike-IV significaría necesariamente convexidad en el espacio de strike-price?
No, y esto está mal. Los vols implícitos (de los precios de mercado) en realidad no son necesariamente convexos pero aún así pueden estar libres de arbitraje, hay muchos ejemplos de esto para diversas acciones. Además, preservar la convexidad tampoco es necesariamente suficiente. En cuanto a la variación implícita $w(y)= \sigma ^2 T$ como una función de logaritmo de dinero $y= \ln\frac {K}{F}$ la restricción del arbitraje de no mariposa se convierte en..: $$1 - \frac {y}{w} \frac { \partial w}{ \partial y} + \frac {1}{4} \left (- \frac {1}{4}- \frac {1}{w}+ \frac {y^2}{w^2} \right ) \left ( \frac { \partial w}{ \partial y} \right )^2 + \frac {1}{2} \frac { \partial ^{2} w}{ \partial y^2} \geq 0$$ y no es una linda restricción lineal como en el caso de los precios de las llamadas. En términos de volumen implícito, la expresión no es tan diferente y menos legible. Lo anterior se deriva de la derivación de vol local de Gatheral, y también se explica en mi libro .
Preservar la convexidad en la variación implícita significaría que sólo el último término es positivo, lo que no garantiza que todo sea positivo.
Una convexidad que preserve la interpolación en el precio de la llamada vs. la huelga es lo que importa para evitar el arbitraje de la mariposa.
Además, nótese que tal línea B no será una interpolación exacta, sino un ajuste menos cuadrado, precisamente por la restricción de la convexidad. Además, tampoco será perfecto, ya que el volúmen implícito asociado puede parecer extraño a veces (ver el artículo de Peter Jackel "Clamping Down on Arbitrage", o Le Floc'h y Oosterlee Colocación estocástica sin modelo para una volatilidad implícita sin arbitraje, Parte II .
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