Consiguiendo $df(t,T)$ cuando se administra $d\ln P(t,T)$ e $f(t,T)=-\frac{\partial}{\partial T} \ln P(t,T)$

Question

Deje que el HJM dinámica de $\ln P(t,T)$ (registro de los precios de los bonos) dada por (En el riesgo neutral medida ) :

$$d \ln P(t,T) = \mathcal{O}( dt) - \sigma_P (t,T) dW(t)$$

Sabiendo que $f(t,T)=-\frac{\partial}{\partial T} \ln P(t,T)$ quiero calcular $df(t,T)$. (La dinámica de la instantánea velocidad de avance)

Para que traté de aplicación de Itô, pero estoy atascado en la definición de las variables que impulsan $f(t,T)$. Yo suelo definir un $\phi$ dependiendo del tiempo y la variable aleatoria y, a continuación, aplicar Itô. Pero aquí estoy confundido como yo podía elegir el tiempo se $t$ o $T$.

Así que mi primera pregunta es : ¿cuál es la regla de oro para la definición de las $\phi$ a que puedo aplicar Itô?

Mi segunda pregunta : es la aplicación de Itô el camino correcto para llegar $df(t,T)$ ?

Gracias

Answer 1

Suponemos que \begin{align*} d \ln P(t,T) = \mu(t, T) dt - \sigma (t,T) dW(t). \end{align*} A continuación, \begin{align*} \ln P(t,T) = \ln P(0,T) + \int_0^t \mu(s, T) ds - \int_0^t \sigma (s,T) dW(s). \end{align*} Por otra parte, \begin{align*} f(t, T) &= -\frac{\partial\ln P(t,T)}{\partial T} \\ &= -\frac{\partial\ln P(0,T)}{\partial T} - \int_0^t \frac{\partial\mu(s, T)}{\partial T} ds + \int_0^t \frac{\partial\sigma (s,T)}{\partial T} dW(s), \end{align*} y \begin{align*} d f(t,T) = \frac{\partial\mu(t, T)}{\partial T} dt + \frac{\partial\sigma (t,T)}{\partial T} dW(t). \end{align*}

Tenga en cuenta que, en virtud de la neutrales al riesgo probabilidad de medida, \begin{align*} \mu(t, T) = r_t - \frac{1}{2}\sigma^2 (t,T). \end{align*} A continuación, \begin{align*} d f(t,T) = \sigma(t, T)\frac{\partial\sigma(t, T)}{\partial T} dt + \frac{\partial\sigma (t,T)}{\partial T} dW(t). \end{align*}