Descubierto conjunto de frente de arriba ciclo de ajuste (teoría voto)

Question

Estoy luchando para ver cuando, dado un conjunto de directiva $X = {x_{1}, … , x_{m}} $ , con $m > 1$, descubierto su conjunto y la parte superior del ciclo de conjunto puede no coincidir (es decir, cuando la parte superior del ciclo de conjunto de políticas que no están en el descubierto conjunto).

El descubierto conjunto se define como sigue. La política de $x$ cubre $y$ si (1) es mayoritaria y preferible a $y$, y (2) todas las políticas que en su mayoría son preferidos a $x$ son igualmente preferido $y$. Si no es $x$ que satisface los criterios (1) y (2), entonces decimos que la $y$ es descubierto.

Junto a esto, la parte superior del ciclo de conjunto se define mediante la partición de la política establecida en k subconjuntos disjuntos, $${L_{1}, … , L_{k}}, \text{where} \; 1 \leq k \leq m $$ por iterativamente la aplicación de la idea de la parte superior del ciclo de conjunto, donde $$(L_{1} = {x ∈ X | \; ∄ \; y ∈ X / L_{1} \; s.t. \; y \succ x})$$

Llamamos a estos subconjuntos de $X$ niveles para sugerir un cuadro mental: uno puede ver el ambiente electoral como una serie de niveles o mesetas (si $k > 1$). Cada meseta electoralmente domina los de abajo: cada una de las políticas en un determinado nivel de la mayoría es preferida a todas las políticas en los niveles inferiores. Además, cada política a un nivel que cubre todas las políticas en las zonas más bajas. Esto implica que $X$'s descubierto conjunto es un subconjunto de $L_{1}$, el descubierto conjunto de $X / L_{1}$ es un subconjunto de $L_{2}$, y así sucesivamente.

Se define de manera constructiva en este contexto, una política que está en la parte superior del ciclo de ajuste ($L_{1}$) si y sólo si es accesible desde todos los otros de la política por una cadena de la recta de preferencia mayoritaria.

En concreto, dada la definición anterior, no puedo entender por qué la definición anterior de la parte superior del ciclo de establecer implica que $X$'s descubierto conjunto es un subconjunto de $L_{1}$.

Si alguien podía pensar en un ejemplo o alguna otra explicación/entrada para esto me sería de gran aprecio. Gracias de antemano!

Answer 1

Este ejemplo viene de Miller (1980) (el documento que presentó el descubierto de la definición de conjunto).

Supongamos que la de la mayoría de preferencia se define por:

\begin{aligned} x \succ y \\ x \succ z \\ y \succ v \\ y \succ z \\ v \succ x \\ z \succ v \end{aligned}

En este ejemplo, tenemos en la parte superior del ciclo de establecer $L_1 = \{x, y, z, v \}$ (usted puede verificar esto).

Pero aviso que $y$ es preferido a $z$ y todas las políticas que se prefiere a a $y$ (es decir, $x$), son los preferidos para $z$. Así, $y$ cubre $z$ y el descubierto conjunto $U$ es tal que $U = \{x, y, v\}$ e $U \subset L_1$.

Entre otras cosas, que Miller demuestra en su trabajo, se tienen los siguientes tres:

1. si hay un ganador de Condorcet, $L_1 = U$;
2. si $L_1$ tiene tres elementos, a continuación, $L_1 = U$;
3. $U \subseteq L_1$.