Discretización de Euler para utilizar con la simulación de Montecarlo y el modelo de volatilidad local

Question

Como en el título, estoy trabajando en la ejecución de simulaciones de Monte Carlo para valorar opciones con el modelo de Volatilidad Local como proyecto. Sólo quiero asegurarme de que estoy entendiendo el proceso, especialmente la discretización correctamente.

La dinámica neutral al riesgo bajo el modelo de Volatilidad Local es:

$$ \frac{d S_t }{S_t } = \mu_t dt + \sigma(t,S_t) dW_t $$

Aplicando el lema de Itô se obtiene:

$$ d \ln(S_t) = (\mu_t-\frac{1}{2}\sigma^2(t,S_t)) dt + \sigma(t,S_t) dW_t $$

Utilizando el esquema de discretización de Euler-Maruyama para simplificar:

\begin {align} \ln (S_{t+ \delta t}) &= \ln (S_{t}) + \int_t ^{t+ \delta t}( \mu_t - \frac {1}{2} \sigma ^2(u,S_u)) du + \int_t ^{t+ \delta t} \sigma (u, S_u) dW_u \\ & \approx \ln (S_{t}) + ( \mu_t - \frac {1}{2} \sigma ^2(t,S_t)) \delta t + z \sqrt { \sigma ^2(t, S_t) \delta t} \tag {1} \end {align}

Entonces puedo incorporar el modelo de volatilidad local (y el skew/smile) en mis simulaciones dividiendo el intervalo de tiempo entre 0 y T en intervalos más pequeños y usar la volatilidad dada por la superficie de volatilidad local y el paso de tiempo, enchufar estos dos en (1) (asumiendo que puedo construir una superficie de LV suave).

Tengo dos preguntas.

1/ ¿Sería correcto utilizar la tasa de deriva igual a la tasa libre de riesgo para valorar las opciones?

2/ Si quiero utilizar simulaciones de Montecarlo para hacerme una idea de la probabilidad de que el activo subyacente acabe entre un intervalo tras un periodo de tiempo definido, entonces tendría que utilizar la "rentabilidad esperada" del activo subyacente en lugar del tipo libre de riesgo?

Gracias.

Answer 1

Utilizar el tipo libre de riesgo para la fijación de precios

Se utiliza el tipo libre de riesgo (utilizando la medida neutral de riesgo $\mathbb{Q}$ ) para poder utilizar la fórmula $$ V(t) = \underbrace{\exp(-r(T-t))}_{\text{because we used $\mathbb {Q} $}} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}(P(S_T)), $$ donde porque usamos $\mathbb{Q}$ hemos podido descontar la expectativa después de hacer todas las simulaciones de MC. Si se quiere utilizar la medida física $\mathbb{P}$ entonces tienes que mover un factor de descuento dentro de la expectativa, y las cosas se vuelven un poco más incómodas.

Utilizar la tasa real/física para calcular las probabilidades

Para obtener la probabilidad de algún evento $A$ que ocurre en el momento $T$ utilizar la medida física $\mathbb{P}$ y hacer uso de $$ \mathbb{P}(A_T) = \mathbb{E}^{\mathbb{P}}(\mathbb{1}_{\{S_T\in A_t\}}), $$ y luego hacer uso de Monte Carlo normal para calcular la expectativa.

Un comentario sobre su esquema Euler-Maruyama

Si desea simular $\log(S_t)$ en lugar de $S_t$ entonces asegúrese de que su volatilidad local está modificada apropiadamente para usar $\log(S_t)$ . En una nota más importante, para las transformaciones monótonas tales como tomar $\exp(\cdot)$ entonces el intervalo de confianza que tenías para $\log(S_t)$ le dará directamente un intervalo correcto para $S_t$ . En general, sin embargo, esto no es cierto, y puede ser fácilmente visto, como si usted tomó $\sin(\cdot)$ . (Para ser justos, no se me ocurre ningún ejemplo común de esto, pero es algo que hay que tener en cuenta).