Algo Terrible está Pasando - Pero, ¿Cuándo Es Probable que haya Ocurrido?

Question

Vivimos en tiempo continuo $t$ y algo terrible está ocurriendo a una tasa de poisson de $r(t)$.

¿Cómo puedo calcular la longitud de la $T$, de modo que con una probabilidad de $P$ (por ejemplo, 0.99), al menos una cosa terrible que ha sucedido?

Sé que para una tasa constante $r(t) = \bar r$, el valor esperado es $1/\bar r$. ¿Cómo puedo ir?

Answer 1

Supongo que $r(t)$ es continua.

La idea es que, este proceso de Poisson con tiempo variable parámetro $r(t)$, como el límite de Bernoulli prueba con tiempo variable de probabilidad de éxito, es memoryless:

Para un genérico finito partición $\mathscr{P}$ de % de $[0, T]$ as $\{[0,t_1),[t_1,t_2),[t_2,t_3) \ldots,[t_{n-1},T]\}$, vamos a la $n$de células th siguiendo una distribución de Poisson con parámetro fijo $r(t_n)$, por lo que $$P_{\mathscr{P}} = 1 - \underbrace{e^{\sum_{k=1}^n-r(t_k)(t_k-t_{k-1})}}_{\text{Probability of no accidents}}$$. So $P = 1 - e^{-\int_0^Tr(t)dt}$. Notice that the Riemann integral $\int_0^Tr(t)dt$ is the limit of a net indexed by the set of all finite partitions of $[0,T]$ with vanishing maximal length of cell with respect to number of cells. $f(x)=1-e^{-x}$ es continua, por lo que este límite conserva.