Diferencial de factor de integración $d(e^{at}r_t)$ en el modelo de Vasicek

Question

Estoy tratando de resolver el modelo de Vasicek SDE (utilizando Wikipedia parametrisation):

$$ dr_t = a(b-r_t)dt + \sigma dW_t $$

Cada solución es proceder a multiplicar ambos lados de la ecuación por el factor integrante $e^{at}$ (similar a la solución lineal de las Odas). Después de la multiplicación y la reordenación obtenemos la siguiente ecuación:

$$ e^{a}dr_t + e^{a}ar_tdt= e^{a}(abdt + \sigma dW_t) $$ Ahora el lado izquierdo es aparentemente igual a $d(e^{at}r_t)$. Cómo es que exactamente el caso?

Es por Ito producto de la regla? Si es así ¿cuál es $X(t)$ e $Y(t)$?

Es por Ito del lexema pero entonces, ¿cuál es el $f(x,t)$

Answer 1

Aplicar el Ito producto de la regla, tomando nota de los cov de un deterministas y estocásticos término es cero:

$$\begin{align} d\left(e^{at}r_t\right)&=e^{at} dr_t+r_t de^{at} \\[6pt] &=e^{at} dr_t+r_t e^{at} d(at) \\[6pt] &=e^{at} dr_t+r_t e^{at} a dt \end{align}$$