Pregunta en "Métodos computacionales en las finanzas" por Ali Hirsa - Capítulo 2: Precio de los derivados mediante técnicas de transformación"

Question

Referencia : "Métodos computacionales en las finanzas" por Ali Hirsa - Capítulo 2: Precio de los derivados mediante técnicas de transformación" - Página 37*

Antecedentes : La opción de llamada de precios de autor usando la Transformada de Fourier. Deje que $X_T$ ser el precio del tiempo T de la seguridad subyacente; $f(X_T)$ ser pdf de $X_T$ bajo algún e.m.m; $q(x_T)$ ser pdf de $x_T=ln(X_T)$ ; $k=ln(K)$ ser el registro del precio de la huelga; $C_T(k)$ ser el precio de una huelga $K=e^k$ y la madurez $T$ .

$ \Phi (v) = \int_ {- \infty }^{ \infty }e^{ivx_T}q(x_T)dx_T$ es la función característica del registro de la seguridad subyacente $x_T$ .

$C_T(k)$ puede expresarse como: $C_T(k)=CE[(X_T-K)^{+}]=C \int_ {K}^{ \infty }(X_T-K)f(X_T)dX_T=C \int_ {k}^{ \infty }(e^{x_T}-e^{k})q(x_T)dx_T$ donde $C$ es un coeficiente constante que depende de la e.m.m. elegida.

Entonces define $ \Psi_T (v)= \int_ {- \infty }^{ \infty }e^{ivk}C_T(k)dx_T$ como la transformación de Fourier de $C_T(k)$ .

Pregunta: El autor sigue obteniendo una forma explícita de $ \Psi_T (v)$ que va de la siguiente manera: $ \Psi_T (v) = \int_ {- \infty }^{ \infty }e^{ivk}(C \int_ {k}^{ \infty }(e^{x}-e^{k})q(x)dx)dk = C \int_ {- \infty }^{ \infty } \int_ {- \infty }^{x}e^{ivk}(e^{x}-e^{k})q(x)dkdx$ . Esta última igualdad parece derivar del Teorema de Fubini, pero no pude entender el cambio de $ \int_ {- \infty }^{x}$ de $ \int_ {k}^{ \infty }$ en la ecuación anterior cuando la integral doble coloca el $e^{ivk}$ en el interior e intercambió el orden de la integración.

¿Podría alguien explicarnos cómo se aplica el teorema de Fubini aquí?

Muchas gracias.

Answer 1

El teorema de Fubini sólo se utiliza para invertir el orden de la integración. Lo hemos hecho:

$ \int_ {- \infty }^{ \infty }{e^{i \nu k} \left ( C \int_k ^{ \infty } \left ( e^x - e^k \right ) q(x) dx \right ) dk} = \int_ {- \infty }^{ \infty }{ \int_k ^{ \infty }{C e^{i \nu k} \left ( e^x - e^k \right ) q(x) dx} dk} $

Ahora, dejemos $f(x, k) = C e^{i \nu k} \left ( e^x - e^k \right ) q(x)$ ,

$ \int_ {- \infty }^{ \infty }{ \int_k ^{ \infty }{f(x, k) dx} dk} = \int_ {- \infty }^{ \infty }{ \int_ {- \infty }^{ \infty }{f(x, k) \mathbb {I}_{x > k} dx} dk}$

Cambiar el orden de integración (y utilizar el hecho de que la función indicadora no afectará a la integrabilidad de $f(x, k)$ :

$ \int_ {- \infty }^{ \infty }{ \int_ {- \infty }^{ \infty }{f(x, k) \mathbb {I}_{x > k} dk} dx} = \int_ {- \infty }^{ \infty }{ \int_ {- \infty }^{ \infty }{f(x, k) \mathbb {I}_{k < x} dk} dx} \\ = \int_ {- \infty }^{ \infty }{ \int_ {- \infty }^{x}{f(x, k) dk} dx} \\ = \int_ {- \infty }^{ \infty }{ \int_ {- \infty }^{x}{C e^{i \nu k} \left ( e^x - e^k \right ) q(x) dk} dx}$