relación entre los importes nocionales de los swaps de volatilidad y los swaps de varianza

Question

Tomando el pago del swap de volatilidad como $$( \sigma_F - \sigma_S ) * volatility~notional $$

y Tomando el pago del swap de varianza como $$( \sigma_F^2 - \sigma_S^2 ) * variance~notional $$

Estoy tratando de entender el origen de la relación;

$$variance~notional = \frac{vega}{(2\sigma_s)}$$

Entiendo que vega es la volatilidad nocional como $\frac{\delta f} {\delta \sigma_F}$ es el cambio de la remuneración con respecto al punto de volatilidad

Entiendo que la varianza nocional es $\frac{\delta f} {\delta \sigma_F^2}$ ya que este es el cambio de la remuneración con respecto al punto de varianza

y $2\sigma_s$ es obviamente la derivada de $\sigma_s^2$

Answer 1

Mira la versión infinitesimal del cambio en desviación : $$ d\sigma^2 = 2\sigma d\sigma + (d \sigma)^2 $$ El término Ito $(d\sigma)^2$ es distinto de cero para los procesos estocásticos, y es de orden $dt$ pero si ignoramos eso entonces obtenemos la relación aproximada $$ d\sigma^2 \approx 2 \sigma d\sigma $$ que es donde el factor $2 \sigma$ proviene de la traducción entre varianza y vega nocional.

Como escribió AlexC se basa en una linealización del P/L (el término Ito es un término "convexo" si se quiere)