Anualidad creciente con crecimiento fijo

Question

He encontrado esta fórmula para el Valor Futuro de una Anualidad Creciente: ver aquí

Estoy buscando una fórmula que proporcione el valor futuro de forma similar a esta fórmula, sólo que con una cantidad fija de crecimiento en cada periodo. Por ejemplo, el crecimiento sería de 25 dólares más cada año en lugar de crecer un 3% cada año.

¿Alguien conoce la fórmula para conseguirlo?

Answer 1

Preámbulo

En la demostración del enlace se dice que "La tasa de crecimiento en este ejemplo sería el incremento del 5% anual", por lo que aunque mencionas la sustitución de la tasa de crecimiento del 3% supongo que te refieres a que la tasa de crecimiento del 5% debe ser sustituida por un incremento fijo de 25 dólares. Puedes intercambiar las cifras como quieras en la fórmula. La cuestión es que estoy bastante seguro de que quieres sustituir la tasa de crecimiento, no el tipo de interés. (En el ejemplo del enlace el 3% es el tipo de interés).

Solución

Dudo que encuentres una fórmula citada, así que aquí tienes una derivada, basada en el ejemplo.

La fórmula en el enlace, con el ejemplo mostrado, se puede encontrar así.

En primer lugar, sumando la contribución de cada año:-

2000*(1 + 0.05)^0*(1 + 0.03)^4 +
2000*(1 + 0.05)^1*(1 + 0.03)^3 +
2000*(1 + 0.05)^2*(1 + 0.03)^2 +
2000*(1 + 0.05)^3*(1 + 0.03)^1 +
2000*(1 + 0.05)^4*(1 + 0.03)^0 = 11700.75

Esto se puede expresar como una suma así:-

o simplificado (utilizando Mathematica ) para producir la fórmula:-

El cálculo que necesitas, con un crecimiento fijo de 25 dólares, es el siguiente:-

(2000 + 25*0)*(1 + 0.03)^4 +
(2000 + 25*1)*(1 + 0.03)^3 +
(2000 + 25*2)*(1 + 0.03)^2 +
(2000 + 25*3)*(1 + 0.03)^1 +
(2000 + 25*4)*(1 + 0.03)^0 = 10875.88

que se puede expresar en esta suma:-

Esto puede simplificarse de un par de maneras:-

Así que, tomando la versión más corta

FV = -((x - (1 + i)^n (i p + x) + i (p + n x))/i^2)

Por ejemplo

x = 25
p = 2000
i = 0.03
n = 5

FV = 10875.88