Deriva del término en bruto de la volatilidad de los modelos

Question

Estoy estudiando áspero de la volatilidad de los papeles y se preguntaba, ¿por qué el término deriva siempre falta.

Véase, por ejemplo, el papel de los Precios en virtud de áspero volatilidad por Bayer, Friz, Gatheral. En la página 2, la fracción de volatilidad estocástica del modelo se introduce el precio de las acciones del proceso es definido por $$\frac{d S_t}{S_t} = \sigma_t d Z_t$$ ¿Por qué es una deriva del término que falta? En primer lugar, pensé que es sólo una simplificación y tiene que ser incorporado en una aplicación práctica del modelo. Pero después de leer la Turboalimentación de Monte Carlo de fijación de precios para la áspera Bergomi modelo por McCrickerd y Pakkanen creo que se trata de un tipo de cambio de numeraire ya que el estado en la página 2 que el precio de las acciones de las necesidades que tiene la siguiente propiedad $\mathbb{E}(S_t)=1, \forall t \geq 0$.

Si el numeraire es cambiado de forma, que el precio de las acciones es igual a la expectativa, lo que probablemente tiene que ser algo como $S_t e^{-r t}$.

Así que, si estoy en lo correcto, ¿cómo hacer que el precio de una opción con este modelo? Tengo un descuento sobre el precio de ejercicio así? ¿Y qué acerca de los dividendos, en caso de un descuento con la tasa libre de riesgo más un continuo de la tasa de dividendos?

Sería genial, si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre este problema. Si usted puede proporcionar un papel, explicando estas cosas, sería genial también.

Answer 1

Estos documentos están interesados en la modelización de la volatilidad estocástica, por lo que implícitamente que el modelo de la dinámica del precio a futuro que tiene corrimiento del cero en virtud de la terminal correspondiente medida. Esto hace que la exposición sea mucho más simple.

Es entonces fácil para volver a la stock precio:

• europea opciones: una opción con vencimiento a $T$ sobre el precio de las acciones $S_t$ se calcula como $PV_t = D_t(T) E^{Q_T}_t[\text{payoff}(S_T)] = D_t(T) E^{Q_T}_t[\text{payoff}(F_T)]$ donde $F_t=E^{Q_T}_t[S_T]$, por lo que la única cosa que necesita modelización de la dinámica de $F_t$ en el terminal de medida $Q_T$

• no europeo de la opción, la volatilidad de los swaps, etc. : bajo el supuesto de que las tasas de interés son deterministas, la terminal de medida y el riesgo neutral medida son los mismos, por lo que la volatilidad estocástica de $F_t$ en el terminal de medida es el mismo que el de volatilidad estocástica para $S_t$ bajo el riesgo de neutro medida.