Mostrar un compuesto de la función es creciente y supermodular dado sus componentes

Question

Si $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es dos veces continuamente diferenciable, tiene un no-negativo de la pendiente, y es supermodular, y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es dos veces continuamente diferenciable y convexa, entonces $g(f(x))$ es creciente y supermodular

A la vez creo que sólo puede mostrar $\displaystyle \frac{d}{dx} g(f(x)) > 0$

$$\displaystyle \frac{d}{dx} g(f(x) = g'(f(x)) f'(x)$$

Desde $f(x)$ tiene un valor no negativo del gradiente $f'(x) \geq 0$, pero no estoy seguro de cómo mostrar el $g'(f(x)) > 0$ como se da convexo nos dice $g''(x) > 0$

Para supermodularity, vamos $l, l' \in \mathbb{R}^n$; $g(f(x))$ será supermodular si la siguiente desigualdad se cumple:

$$\displaystyle (g \circ f)(l \vee l') + (g \circ f)(l \wedge l') \geq (g \circ f)(l) + (g \circ f)(l')$$

Yo creo que si nos habíamos $l_i \leq l_i', \; \forall i$, entonces vamos a tener igualdad de $(g \circ f)(l \vee l') = (g \circ f)(l')$ e $(g \circ f)(l \wedge l') = (g \circ f)(l)$, pero no saben qué hacer para el resto de los casos.

Answer 1

No creo que esta proposición tiene sin asumir que $g$ también está aumentando. Tome $f(x_1,x_2)=x_1x_2$ (en realidad cualquier supermodular función) y $g(z)=-z$ (decreciente y convexa). A continuación, $g(f(x_1,x_2))=-x_1x_2$, que no es ni el aumento en sus argumentos o supermodular.

Si usted asume también que $g$ es creciente, consigue $g'(f(x))\geq 0$ directamente.

Se puede mostrar fácilmente supermodularity el uso de la conddition en el segundo derivados. Denotar $x=(x_1,...,x_n)$. Supermodularity es equivalente a la función f a $$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x)\geq 0$$ for any $i\ne j$. Si dos veces-se diferencian $g \otimes f$ ($\otimes$ es el operador compuesto), $$\frac{\partial^2 g \otimes f}{\partial x_i \partial x_j}(x)=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x) . g'(f(x)) + \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) .\frac{\partial f}{\partial x_j}(x) .g(f(x))$$ Se puede comprobar que $\frac{\partial^2 g \otimes f}{\partial x_i \partial x_j}(x)\geq 0$, de modo que $g \otimes f$ es supermodular desde $f$ es supermodular, $g$ es creciente y $g$ es convexa.