¿Hay una fórmula para el valor futuro de una serie de depósitos mensuales con interés compuesto semanal?

Question

He buscado y no visto (o tal vez simplemente no la reconoce como la aplicación de a) un valor futuro de la fórmula para los siguientes: El depósito de una cantidad fija de dinero ($100 o lo que sea) cada mes en una cuenta de inversión. El interés compuesto se aplica semanalmente (o podría ser a diario, dos veces por semana, pero menos de una vez al mes). Tasa de interés anual (se divide por el número de períodos de capitalización por año, supongo). Sin inversión inicial (por lo de la cuenta de inversión/comenzaría con $0). Depósito sería al final de cada mes.

He visto una fórmula (en varios lugares) que está cerca de (o, posiblemente, LA fórmula para esto), pero parece que no puede llegar a trabajar con los depósitos mensuales y los períodos de capitalización son menos de una vez al mes.

Si hay una fórmula de algún sitio, o si esta pregunta ya ha sido contestada, podría alguien por favor me apunte a ella? Me disculpo de antemano si este es el caso.

Answer 1

No hay una fórmula que se puede aplicar a la mayoría de las variaciones del problema que plantean. La razón es que no es fácil, fija la relación entre los dos períodos de tiempo involucrados: el intervalo de tiempo para los sucesivos pagos, y el período de tiempo sucesivos de interés compuesto.

Supongamos que usted tiene capitalización diaria y quieres hacer pagos semanales (Un caso que puede ser manejado). Dicen que la citada tasa de 4.2% al año, capitalizado diariamente

A continuación, la tarifa por día es de 4.2/365, o 0.0115068 %

Así, en una semana, una deuda crecería a través de siete compoundings. Una deuda de $1 crecería a 1 * (1+.000225068)^7, o 1.000805754

Así, el equivalente a la tasa de interés semanal de la capitalización es 0.0805754%

Ahora usted tiene semanal de capitalización y pagos semanales, por lo que el estándar de la anualidad fórmulas se aplican.

El problema radica en que el número "7", el número de días en una semana. Pero si estás tratando de manejar, diaria, mensual, semanal o trimestral, ¿qué valor tendría que utilizar?

En tales casos, el método más práctico es el de convertir cualquier tasa compuesta para una capitalización diaria de la tasa, y el uso de una hoja de cálculo para manejar la irregularmente espaciados pagos.

Answer 2

Tal vez no hay una fórmula única que cuentas para todos los intervalos de tiempo, pero hay un método para obtener las fórmulas para cada uno de los compuestos período de interés. Usted deposita dinero mensual, pero no hay interés aplicado a la semana. Supongamos que el mes tiene 4 semanas.

Así agregó x en el final del primer mes, cuando el nuevo mes comienza, usted tiene x dinero en su cuenta. Después de una semana, usted tiene x + bx dinero. Después de la segunda semana, usted tiene x + b(x + bx) y así sucesivamente. Siempre tomando en cuenta la anterior cantidad de dinero y multiplicarlo por el interés (b) que usted tiene. Esto le da a usted para el final del segundo mes:

Esto parece complicado, pero es fácil para los equipos. Llamamos f(0), que es: es una función que da la cantidad de dinero que se obtenga por el final del segundo mes. ¿Puedes ver el futuro entradas de dinero se dan con relación a los anteriores? Entonces podemos hacer lo siguiente, por n>1 (note que la x es el final de la fórmula, es el depósito de dinero al final del mes, estoy asumiendo que va a pasar a través del interés compuesto sólo en la primera semana del mes siguiente):

Y, a continuación, escriba a:

Hay algo en matemáticas se llama la recurrencia de la relación en la que podemos utilizar estas dos fórmulas para producir una simplificado para arbitrario b y n. Hacerlo a mano sería un poco complicado, pero afortunadamente CASes son capaces de hacerlo fácilmente. He utilizado Wolfram Mathematica comandos:

FullSimplify[
 RSolve[{f[0] == 
    x + b x + b (x + b x ) + b (x + b x + b (x + b x )) + 
     b (x + b x + b (x + b x ) + b (x + b x + b (x + b x ))),
   f[n] == b f[n - 1] + b (b f[n - 1]) + 
     b ( b f[n - 1] + b (b f[n - 1])) + 
     b (b f[n - 1] + b (b f[n - 1]) + 
        b ( b f[n - 1] + b (b f[n - 1]))) + x}, f[n], n]
 ]

Y me dio la siguiente fórmula:

Todo el trabajo que usted realmente tiene que hacer es averiguar lo que va a ser f(0) y, a continuación, escribir la f(n) para n>0 en términos de f(n-1). Aviso que he utilizado el comando FullSimplify en mi código, Mathematica viene con algoritmos para simplyfing fórmulas por lo que si no encuentras algo más simple, usted probablemente no va a encontrar por sí mismo! Si el código se ve feo, es porque de Mathematica portapapeles formato, en el software, se parece a esto:

Observe que escribí toda la fórmula para f(0), pero como también es una relación de recurrencia, puede ser escrita como:

Que es: f(0)=g(4). Esto debe darle mucho fórmulas más sencillas para aplicar en este método.